Techniklexikon

Feldtheorie

QuantenmechanikAtom- und Molekülphysik, Beschreibung der physikalischen Realität vermittels Feldgrössen, die dem speziellen Relativitätsprinzip genügende Feldgleichungen befriedigen.Allgemeine Prinzipien: In der Feldtheorie werden jedem Raumpunkt je nach Anzahl der für die Beschreibung der physikalischen Erscheinung notwendigen Feldgrössen ein oder mehrere Feldwerte zugeordnet, die den physikalischen Zustand charakterisieren (Feld). Die raumzeitliche Änderung der physikalischen Zustände wird durch Feldgleichungen beschrieben, das sind partielle Differentialgleichungen für die Feldgrössen. Sie sind gewöhnlich von höchstens zweiter Ordnung und dann vom hyperbolischen Typ. In diesem Fall sind die Lösungen der Feldgleichungen durch die Vorgabe der Felder und ihrer ersten Zeitableitungen zu einem festen Zeitpunkt t = t₀ eindeutig bestimmt. Dies ist die Widerspiegelung der Makrokausalität in der Feldtheorie: Durch die Werte des Feldes und seiner ersten Ableitungen zu einem Zeitpunkt t₀ ist die frühere und spätere Entwicklung eindeutig bestimmt. Aus der Speziellen Relativitätstheorie folgt, dass die Feldgleichungen gegenüber Lorentz-Transformationen kovariant, d.h. in ihrer Form unverändert sein müssen. Das Feld ist gewöhnlich durch die Angabe mehrerer Feldgrössen j_a(x) gegeben, die eine Darstellung der Lorentz-Gruppe bilden müssen (Darstellung einer Gruppe); je nach der Art dieser Darstellung spricht man von Spinor- bzw. Tensorfeldern, die man gewöhnlich als y_ab...(x) bzw. y_mn...(x) bezeichnet. Tensorfelder lassen sich aus Spinorfeldern aufbauen, aber nicht umgekehrt; spezielle Tensorfelder sind das Skalarfeld y(x) mit nur einer Komponente und das Vektorfeld y_m(x) mit vier Komponenten. Die Feldgleichungen werden mit Hilfe des Wirkungsprinzips aus einer Lagrange-Funktion hergeleitet. Das physikalische Geschehen wird dabei im Rahmen des Minkowskischen Raum-Zeit-Kontinuums der Speziellen Relativitätstheorie beschrieben. Die Gültigkeit des speziellen Relativitätsprinzips wird durch die Invarianz der Lagrange-Funktionen bei Lorentz-Transformationen der Bezugssysteme gesichert. Die Lagrange-Funktion L wird durch raumzeitliche Integration über eine Lagrange-Dichte L gewonnen, die im allgemeinen als nur von den Feldfunktionen j_i(i = 1, ..., N) und deren raumzeitlichen Ableitungen ¶_mj_i(m = 1, 2, 3) abhängt.

Das Wirkungsprinzip lautet dann:

.           (1)

Die Variation dW ist null, wenn j_i die Lagrange-Gleichungen

            (2)

erfüllt (über doppelt auftretende Indizes wird summiert). Aus der Invarianz der Lagrange-Funktion gegenüber infinitesimalen Lorentz-Translationen des Koordinatensystems der Form  ergeben sich aufgrund der zugehörigen Variation entsprechend (1) unter Verwendung der Gültigkeit der Feldgleichungen (2) die Gleichungen

,           (3)

wobei d^m_n das Kronecker-Symbol ist. Da die infinitesimalen Translationen willkürlich wählbar sind, erfüllt damit der Tensor

            (4)
den differentiellen Erhaltungssatz
.           (5)
Der Tensor T_mn wird als kanonischer Energie-Impuls-Tensor bezeichnet. Er ist im allgemeinen unsymmetrisch. Das Auftreten eines unsymmetrischen Anteils entspricht der Existenz eines Eigendrehimpulses der zum Feld gehörigen Teilchen bzw. den Polarisationseigenschaften des Feldes. Mit (5) erfüllt auch der Tensor

 (6)
den differentiellen Erhaltungssatz

, (7)
wenn T^mn symmetrisch ist. Der kanonische Energie-Impuls-Tensor lässt sich jedoch symmetrisieren, indem man zu dem Ausdruck (4) einen Ausdruck der Form

 (8)
mit einem entsprechend zu bestimmenden, in n und l antisymmetrischen Tensor  hinzufügt, dessen Divergenz identisch verschwindet. Der symmetrisierte Energie-Impuls-Tensor wird metrischer Energie-Impuls-Tensor genannt und ergibt sich direkt im Zusammenhang mit den Einsteinschen Gravitationsgleichungen. Mit Hilfe des metrischen Energie-Impuls-Tensors kann man immer den Tensor (6) konstruieren. M^m,sn ist der Drehimpulstensor des Feldes. Aus (5) und (7) ergeben sich die Erhaltungssätze für Energie-Impuls und Drehimpuls sowie der Schwerpunkterhaltungssatz. Der differentielle Erhaltungssatz für den Drehimpulstensor hat seinen Ursprung in der Invarianz der Lagrange-Funktion bei Lorentz-Rotationen des Koordinatensystems in Analogie zu (3) und (5). Für komplexe Felder ist noch die Existenz des Viererstromvektors

,           (9)
wobei  konjugiert komplex zu j_i ist, wesentlich. Er resultiert aus der Eichinvarianz gegenüber der Umeichung  und erfüllt auf Grund der Feldgleichungen (2) für j_i und  die Kontinuitätsgleichung

.           (10)
In Analogie zum Energie-Impuls-Erhaltungssatz erhält man aus (10) durch Integration über den dreidimensionalen Raum den Erhaltungssatz für die Gesamtladung

.           (11)
Die zugehörigen Feldgleichungen hängen alle eng mit der Wellengleichung zusammen. Die Wechselwirkung der verschiedenen Felder wird durch Hinzufügen eines Wechselwirkungsgliedes L_I zur Summe der Lagrange-Dichten L_f der freien, nicht wechselwirkenden Felder berücksichtigt. Die Feldgleichungen freier Felder sind linear, wenn L in den Feldern und deren Ableitungen höchstens quadratisch ist; die Lösungen können dann mit beliebigen Koeffizienten überlagert werden und ergeben stets wieder neue Lösungen. Die Berücksichtigung der Wechselwirkung erfordert die Einführung nichtlinearer Glieder, da sonst keine Kopplung zwischen den verschiedenen Feldern vorliegt. Da die exakte Lösung der Gleichungen wechselwirkender Felder nur in den seltensten Fällen explizit angegeben werden kann, hat man entsprechende Näherungsverfahren entwickelt; am bekanntesten ist die Störungstheorie. Die Nichtlinearitäten führen im Fall lokaler Feldtheorien zu Divergenzen, d.h. zu unendlichen Werten für physikalisch wohldefinierte endliche Grössen. Allen bekannten Teilchen und ihren Wechselwirkungen kann man wenigstens im Prinzip ein lokales Feld zuordnen; in einer solchen klassischen Feldtheorie der Materie ist dann von Teilchen keine Rede mehr. Die wichtigsten klassischen Feldtheorien sind die Maxwellsche Theorie des elektromagnetischen Feldes (Elektrodynamik) aus den 1860er Jahren und die in der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie enthaltene Feldtheorie der Gravitation (1916).

Die quantisierte Feldtheorie, kurz Quantenfeldtheorie, ist durch das Zusammenschmelzen der Quantenmechanik und der Speziellen Relativitätstheorie (inklusive Elektrodynamik) in der 1930er Jahren durch die Arbeiten von Dirac entstanden. In den 40er Jahren wurde die Renormierung der Quantenelektrodynamik (QED) ausgearbeitet (Schwinger, Feynman), in den 60er Jahren das Quarkmodell (Gell-Mann) und andere Theorien der starken und schwachen Wechselwirkung. Anfang der 70er Jahre wurde die Vereinheitlichung der schwachen und elektromagnetischen Kräfte in der nichtabelschen Eichtheorie von Weinberg und Salam vollzogen. Die starken Kernkräfte wurden auch mit einer Eichtheorie, Quantenchromodynamik (QCD) genannt, beschrieben. Im weiteren Verlauf der 70er und 80er Jahre wurde das Standard-Modell der Elementarteilchen ausgearbeitet, das Confinement-Problem in der QCD formuliert und die Gittereichtheorie entwickelt, wobei eine Analogie zwischen Phasenübergängen und Renormierung (Wilson) weitere Entwicklungen förderte. Auch topologische und gruppentheoretische Methoden hielten Einzug in die Quantenfeldtheorie (Witten) bei der Suche nach Modellen, die über das Standardmodell hinausgehen und womöglich die bekannten Wechselwirkungen (einschliesslich der Gravitation) einheitlich beschreiben (Supersymmetrie, Supergravitation, String-Theorie). Bis heute ist es der Quantenfeldtheorie gelungen, drei der vier grundlegenden Wechselwirkungen der subatomaren Welt mit einer zuvor unbekannten Genauigkeit zu beschreiben und eine überwältigende Menge von neuen Konzepten und mathematischen Verfahren einzuführen. Sie ist in ihrer Bedeutung weit über die ihre ursprünglichen Ansprüche hinausgewachsen und stellt neue Fragen an die Grundlagen der Quantisierung (Quantenalgebren, Knotentheorie, Quantengravitation). (Algebraische Quantenfeldtheorie, axiomatische Quantenfeldtheorie, effektive Feldtheorie, euklidische Quantenfeldtheorie, konforme Feldtheorien, topologische Feldtheorien) [TB2]