Techniklexikon

BCS-Theorie

Bardeen-Cooper-Schrieffer-Theorie, die von J. Bardeen, L.N. Cooper und J.R. Schrieffer entwickelte und 1957 publizierte Theorie der Supraleitung. Im Gegensatz zu den bis dahin entwickelten phänomenologischen Beschreibungen (Zweiflüssigkeitsmodell, Londonsche Theorie der Supraleitung und deren Erweiterungen) ist die BCS-Theorie eine auf der Quantenmechanik aufgebaute Vielteilchentheorie.

Die BCS-Theorie basiert auf der Paarhypothese: Unter dem Einfluss einer attraktiven Wechselwirkung (Paarpotential) werden je zwei Leitungselektronen entgegengesetzten Impulses und Spins zu einem Cooper-Paar gebunden. Durch die für Fermionen geforderte Antisymmetrie der zugehörigen Wellenfunktion gegenüber Teilchenvertauschung (Pauli-Prinzip) werden diese Paare zu einer starren Paargesamtheit korreliert, in der die Elektronen ihre individuellen Freiheitsgrade verlieren (makroskopischer Quantenzustand), und die durch die Wellenfunktion

beschrieben werden kann (k: Wellenzahlvektor, : Vakuumzustand). Dabei ist  Erzeugungsoperator eines Cooper-Paars und  der eines Elektrons mit Impuls  und Spin + 1/2 (bzw.  mit Impuls  und Spin  - 1/2). Die Koeffizienten ,  lassen sich aus der Minimierung der freien Energie, in die der Erwartungswert  (H: Hamilton-Operator) eingeht, temperaturabhängig bestimmen. Dies führt auf das Gleichungssystem:

(e_k: wellenzahlabhängige Bandenergie), wobei E_k das wellenzahlabhängige Anregungsspektrum des Supraleiters beschreibt, das eine Energielücke D_k aufweist. Diese bestimmt sich aus der Gleichung

, (3)

wobei V_kk\' das Paarpotential beschreibt. Beruht dieses auf dem Elektron-Phonon-Mechanismus der Supraleitung, so kann es in erster Näherung als konstant V_kk\' =  - V in einer Kugelschale der energetischen Dicke ( : Debye-Grenzfrequenz) um die Fermi-Fläche angenommen werden, was zu einer wellenzahlunabhängigen Energielücke D führt, deren Temperaturabhängigkeit durch die Gleichung

 (4)

gegeben ist. (N(0): elektronische Zustandsdichte an der Fermi-Energie). Für T = 0 folgt aus Gleichung (4):

. (5)

Die Sprungtemperatur T_c erhält man aus D(T_c) = 0 zu

, (6)

die Kombination der Gleichungen (5) und (6) liefert 2D(0)/k_BT_c = 3,52.

Die BCS-Theorie ist eine Molekularfeldtheorie, sie beschreibt einen Phasenübergang zweiter Art. Sie gilt streng nur im Grenzfall schwacher Kopplung, N(0)V  0. Für starke Kopplung weicht das Verhältnis 2D(0)/k_BT_c signifikant von 3,52 nach oben ab (Beispiel Pb: T_c = 7,2K, N(0)V » 0,4, 2D(0)/k_BT_c » 4,4). Eine für starke Kopplung erweiterte BCS-Theorie ist die Eliashberg-Theorie.

Die BCS-Theorie ist nicht auf den Elektron-Phonon-Mechanismus der Supraleitung beschränkt, sondern kann auch andere Kopplungsmechanismen behandeln, wie z.B. Kopplungen über Plasmonen (exzitonische Supraleitung) oder über Spinfluktuationen (supraflüssiges ³He). Sie ist auch zur Beschreibung der Anregungsspektren schwerer Atomkerne erfolgreich herangezogen worden. [HR1]