Techniklexikon

lineare Algebra

Teilgebiet der Algebra, das sich mit der Theorie der Vektorräume und ihrer grundlegenden Objekte, den Vektoren, beschäftigt und sich ursprünglich aus der Theorie zur Lösung linearer Gleichungssysteme entwickelt hat, aber auch wesentliche Impulse aus der von Descartes entwickelten analytischen Geometrie erhielt, die sich mit den Eigenschaften von Geraden und Ebenen im Raum beschäftigt. In der linearen Algebra werden lineare Abbildungen bzw. lineare Operatoren und die Transformationseigenschaften linearer Gleichungssysteme untersucht. Die Darstellung linearer Abbildungen in bestimmten Koordinatensystemen führt auf das Konzept der Matrix und der Determinante sowie zu Regeln, mit diesen Objekten zu rechnen und praktische Probleme zu lösen. Damit verbunden ist auch die Untersuchung der Eigenwerte und Eigenvektoren linearer Abbildungen. Für die Physik wichtige Grundkonzepte wie Skalarprodukt, Kreuzprodukt und Orthogonalität werden in der linearen Algebra ebenso entwickelt wie die in vielen Beweisen der Mathematik Anwendung findende Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Wichtige Anwendungen der Physik, die sich aus der linearen Algebra ergeben, sind die Untersuchung spezieller linearer Abbildungen, der Rotationen, die Methode der kleinsten Quadrate, die interpretiert werden kann als das Problem, überbestimmte (lineare) Gleichungssysteme zu lösen, oder die Lösung linearer Differentialgleichungssysteme. Ein Teilgebiet der angewandten Mathematik beschäftigt sich mit numerischen Realisierungen der Probleme aus der linearen Algebra, z.B. der Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe des Gauss-Algorithmus oder der Bestimmung der Eigenwerte einer symmetrischen Matrix mit Hilfe des Jacobi-Verfahrens.

Aufbauend auf den Konzepten Gruppe und Körper entwickelt die lineare Algebra die Theorie der Vektorräume mit den wichtigen Begriffen lineare Unabhängigkeit von Vektoren,Basis und Dimension eines Vektorraums. Auf die Vektoren eines Vektorraums lassen sich lineare Abbildungen anwenden. Die Identifizierung linearer Abbildungen mit Matrizen bei Wahl einer geeigneten Basis führt auf die Untersuchung von Basiswechsel, Koordinatentransformationen, Äquivalenz und Ähnlichkeit von Matrizen. Die Bestimmung einer Basis, bei der eine gegebene Abbildung oder Matrix eine besonders einfache, nämliche diagonale, Gestalt hat, wird gelöst durch den Prozess der Diagonalisierung und der Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren dieser Matrix.