Techniklexikon

Gauss-Algorithmus

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Gauss-Verfahren, von C.F. Gauss eingeführte Methode zur Lösung eines linearen Gleichungssystems, die darauf beruht, dass man durch äquivalente Umformungen des ursprünglichen Systems sukzessive die unbekannten Variablen eliminiert. Ein solches lineares Gleichungssystem hat die Form Ax - b = 0, d.h.  für j = 1, ..., n.

Das Gauss-Verfahren besteht nun aus folgenden Operationen:

Die erste Gleichung wird als Ausgangspunkt gewählt (k = 1), mit a₂₁ / a₁₁ multipliziert (sofern a₁₁ ¹ 0) und von der zweiten abgezogen; dann mit a₃₁ / a₁₁ multipliziert von der dritten Gleichung abgezogen usw., bis die erste Gleichung, multipliziert mit a_n1 / a₁₁, von der n-ten Gleichung subtrahiert wird. Anschliess end setzt man k = k + 1 und wiederholt dieses Verfahren für das neu entstandene Gleichungssystem mit einem von null verschiedenen Koeffizienten, und zwar so lange k < n - 1 ist. Das Verfahren ist abgeschlossen, wenn k = n - 1 ist; die Koeffizientenmatrix hat dann die Form

(Dreiecksmatrix), für die ausgehend von der Gleichung x_n¢ = b_n¢ / a_nn¢ ein Lösungsvektor x^T = (x₁, x₂,..., x_n) berechnet werden kann:

Beim Gauss-Jordan-Verfahren, einer Modifikation des Gauss-Verfahrens, lässt man im Schritt k den Zeilenindex i der sukzessiven Subtraktionen anstelle von 1 bis n - 1 von 1 bis k - 1 und von k + 1 bis n - 1 laufen. Im Endergebnis erhält man dann eine Koeffizientenmatrix in Diagonalform (Diagonalmatrix), was die Berechnung des Lösungsvektors vereinfacht. Allerdings müssen beim Gauss-Jordan-Verfahren mehr Operationen durchgeführt werden.