Techniklexikon

Skalarprodukt

Mathematische Methoden und Computereinsatz, inneres Produkt, positiv definite symmetrische Bilinearform (bzw. Hermitesche Form)  auf einem Vektorraum  über einem Körper . Für das Skalarprodukt findet man in der Literatur die äquivalenten Schreibweisen:

wobei  den zu  komplex-konjugierten und transponierten Vektor bezeichnet; im Falle  ist . Damit die Abbildung  Skalarprodukt genannt werden kann, muss sie, im Falle , die folgenden Eigenschaften erfüllen:

positive Definitheit

Symmetrie

Linearität in beiden Argumenten

und skalare Multiplizität in beiden Argumenten

wobei  die zu  komplex-konjugierte Zahl bezeichnet. Manchmal findet man auch die Bedingungen  und ; im Falle  gilt schliesslich .

Das Skalarprodukt macht  über   zum euklidischen (unitären) Vektorraum, es induziert die euklidische Norm und das Konzept der Orthogonalität.

Die in der Physik am häufigsten gebrauchten euklidischen bzw. unitären Vektorräume sind der Vektorraum , der Vektorraum  der auf dem Intervall  stetigen Funktionen und speziell in der Quantenmechanik der Vektorraum  der quadratintegrierbaren, komplexwertigen Funktionen , für die gilt:

der  ist ein Beispiel für einen  Hilbert-Raum. Auf dem Vektorraum  ist das Skalarprodukt definiert als

In diesem Fall kann mit Hilfe des Skalarprodukts der Winkel  zwischen von Null verschiedenen Vektoren  und  berechnet werden:

wobei  die euklidische Norm bezeichnet. Auf dem Funktionenvektorraum  mit z.B. komplex-wertigen Funktionen  und  ist das Skalarprodukt definiert als