Techniklexikon

topologische Quantenfeldtheorie

Teilchenphysik, tQFT, topologische Feldtheorie, eine Quantenfeldtheorie, die unabhängig von der Metrik der gekrümmten Mannigfaltigkeit ist, auf der sie definiert ist. Sie enthält keine lokalen Freiheitsgrade, nur topologische; auch die Operatoren der Theorie sind topologisch, also Metrik-unabhängig.

Ein einfaches Beispiel einer topologischen Feldtheorie ist die Chern-Simons-Theorie. Ihre abelsche Version ist definiert durch die Wirkung

Chern-Simons-Theorien sind exakt – also nicht störungstheoretisch – lösbare Quantenfeldtheorien und bilden einen feldtheoretischen Rahmen für das Studium von Knoten und Verschlingungen in drei Dimensionen. Abelsche Chern-Simons-Theorien liefern eine Interpretation der Verschlingungs- und Verwringungszahlen, in nicht-Abelschen Theorien stellen die Vakuumerwartungswerte bestimmter, zur Bildung des Funktionalintegrals notwendiger Operatoren, der sog. Wilson-Loop-Operatoren, topologische Knoteninvarianten, die nicht von der genauen Form der Knoten abhängen, dar, z.B. das Jones-Polynom, und liefern eine explizite Berechnungsmethode für diese Invarianten. Darüber hinaus finden Chern-Simons-Theorien eine interessante Anwendung in der Quantengravitation und bei der Berechnung der Entropie Schwarzer Löcher.

Ein weiterer Typ topologischer Quantenfeldtheorien sind die in jeder Dimension formulierbaren und ebenfalls exakt lösbaren BF-Theorien. Es konnte gezeigt werden, dass vierdimensionale Yang-Mills-Theorien als Deformationen von BF-Theorien aufgefasst werden können.

Eine sehr interessante Klasse topologischer Feldtheorien sind die sog. cohomologischen oder Wittenschen Feldtheorien. Einer ihrer wichtigsten Vertreter ist die Donaldson-Witten-Theorie, welche als getwistete Version einer (N = 2)-supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie aufgefasst werden kann und eine Beschreibung und Berechnung der 1983 von S. Donaldson entdeckten Invarianten vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten mit Hilfe der Seiberg-Witten-Invarianten ermöglicht.