Techniklexikon

Mannigfaltigkeit

ein topologischer Raum, der lokal wie  aussieht. Eine glatte Fläche oder Kurve im  besitzt Eigenschaften, die es gestatten, auf ihr Differentialrechnung zu betreiben. Diese Eigenschaften können intrinsisch, d.h. unabhängig von einer Einbettung in , und für beliebige Dimension angegeben werden. In einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit oder n-Mannigfaltigkeit gibt es zu jedem  eine Umgebung U und einen Homöomorphismus  auf eine offene Teilmenge V von .  heisst eine Karte oder ein lokales Koordinatensystem mit Kartenbereich U. Beispielsweise besitzt jeder Punkt auf der Kugeloberfläche eine Umgebung, die homöomorph ist zu einer offenen Teilmenge des . Ist X zusätzlich separabel und metrisierbar, nennt man X eine topologische oder -Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten, die X überdecken, bilden einen Atlas von X. Überlappen sich die Bereiche zweier Karten  und , kann man die Kartenwechsel oder Koordinatentransformationen  und  betrachten. Diese sind nun Homöomorphismen von offenen Teilmengen des . Sind alle Kartenwechsel im Atlas sogar k-fach stetig differenzierbar, also -Diffeomorphismen von offenen Teilmengen des , heisst X eine -Mannigfaltigkeit. Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine -Mannigfaltigkeit. Ersetzt man den Modellraum  durch einen Halbraum , so dass also die Karten offene Teilmengen von X auf offene Teilmengen von  abbilden, wird X eine Mannigfaltigkeit mit Rand . Von Bedeutung sind auch -Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel reell-analytisch sind, und komplexe Mannigfaltigkeiten, die nach  mit analytischen Kartenwechseln modelliert sind. Für glatte Mannigfaltigkeiten ,  heisst eine Abbildung  differenzierbar bei , wenn für Karten , , und , , die Abbildung  differenzierbar ist. Aus Mannigfaltigkeiten kann man neue Mannigfaltigkeiten konstruieren, z.B. durch Bildung von Faserbündeln, insbesondere das Tangentialbündel . Die Ableitung von f an der Stelle  kann koordinatenfrei aufgefasst werden als eine Abbildung der Tangentialräume, . In lokalen Karten  um  und  um  nimmt sie die Form einer Jacobi-Matrix  an (D ist die totale Ableitung von Abbildungen von  in ).

Mannigfaltigkeiten bilden die Grundlage der Differentialgeometrie. Mit ihrer Hilfe lassen sich Vektorfelder, Tensorfelder und Differentialformen definieren.

Beispiele:

a)  ist eine n-Mannigfaltigkeit, ebenso jede offene Teilmenge U des .

b) Die Sphären  sind n-Mannigfaltigkeiten. Die Kugeln  sind n-Mannigfaltigkeiten mit Rand .

c) Transformationsgruppen wie die Gruppe SO(3) der Drehungen des , die Lorentz-Gruppe, die Poincaré-Gruppe etc. sind Mannigfaltigkeiten.

d) Die Konfigurationsräume Q der Mechanik sind Mannigfaltigkeiten. Die Karten eines Atlasses werden in diesem Zusammenhang häufig als verallgemeinerte Koordinaten bezeichnet. Auch die Phasenräume sind Mannigfaltigkeiten.

e) In der Allgemeinen Relativitätstheorie und in der Kosmologie geht man davon aus, dass Raum und Zeit gemeinsam eine 4-Mannigfaltigkeit bilden, die nicht zum  homöomorph sein muss.