Techniklexikon

topologischer Raum

Mathematische Methoden und Computereinsatz, ein Paar , bestehend aus einer Menge X und einer Menge  von Teilmengen (»offene Mengen«) U_i von X, mit den Eigenschaften: (Axiom 1) Beliebige Vereinigungen von offenen Mengen sind offen; (Axiom 2) der Durchschnitt von je zwei offenen Mengen ist offen; (Axiom 3) die leere Menge und X sind offen. Man sagt,  ordnet X eine Topologie zu; oft wird X alleine auch topologischer Raum genannt. Beispiele: a) Ist  die Menge aller Teilmengen von X, sind die Axiome automatisch erfüllt (diskrete Topologie). b)  induziert die (ziemlich uninteressante) triviale Topologie. c) Sei X die reelle Achse ; alle offenen Intervalle  und ihre Vereinigungen definieren die sog. gewöhnliche Topologie (analog im ).

Existieren bei einem topologischen Raum für ein beliebiges Paar distinkter Punkte  immer Umgebungen  von  und  von , so dass , nennt man ihn Hausdorff-Raum. Fast alle relevanten Räume in der Physik sind Hausdorff-Räume, z.B. der  oder die metrischen Räume.