Techniklexikon

Jones-Polynom

Polynom, das zusammen mit seinen Verallgemeinerungen, dem HOMFLY-Polynom (benannt nach seinen Entdeckern Hoste, Ocneanu, Millet, Freyd, Lickorish und Yetter) und dem Klammerpolynom von Kauffman, zur Berechnung von Invarianten der Knotentheorie dient. Seine Gestalt enspricht den rekursiven Entfaltungsschritten von Knoten (Reidemeister-Bewegungen) und identifiziert dadurch ihre topologische Klasse. Mit diesen Invarianten können Lösungen der Yang-Baxter-Gleichungen gefunden werden, die die Stern-Dreieck-Äquivalenz auf einem zweidimensionalen Gitter widerspiegeln. Somit können exakt lösbare zweidimensionale Modelle der statistischen Physik wie z.B. das Ising-Modell studiert werden.

Lässt man den Gitterabstand eines zweidimensionalen Gittermodells gegen Null gehen, entspricht dies einer 1 + 1-dimensionalen Quantenfeldtheorie. Nach E. Witten können topologische Quantenfeldtheorien in 2 + 1 Dimensionen auch im Rahmen der Knotentheorie interpretiert werden. Erwartungswerte von Eichfeldkonfigurationen (Eichtheorie) mit verschiedener Anzahl von Wilson-Loops sind dabei "knotentopologisch" nicht äquivalent. Bei der Berechnung der Partitionssumme sind deshalb die Knoteninvarianten und damit auch die Verwendung des Jones-Polynoms von Bedeutung.