Techniklexikon

S-Matrix-Theorie

Quantenmechanik, analytische S-Matrix-Theorie, stellt einen Versuch dar, die S-Matrix nicht störungstheoretisch über eine Quantenfeldtheorie, sondern direkt, unter Annahme allgemeiner Prinzipien, zu konstruieren. Diese Vorgehensweise bietet sich vor allem bei der starken Wechselwirkung an und diente in den 60er Jahren dazu, Ordnung in die Vielzahl der experimentell gemessenen hadronischen Resonanzzustände, ihre Massen-Drehimpuls-Relationen sowie das Hochenergieverhalten hadronischer Streuamplituden zu bringen. Die allgemeinen Prinzipien sind relativistische Invarianz, Unitärität der S-Matrix, Kausalität und andere gruppentheoretische Invarianzen, die aus den inneren Symmetrien der Elementarteilchen folgen. Diese Voraussetzungen schränken die Möglichkeit zur Konstruktion der S-Matrix stark ein.

Die Unitarität  der S-Matrix bildet zusammen mit der Mandelstam-Hypothese, welche besagt, dass die Amplituden der drei voneinander unabhängigen Streuprozesse  (s-Kanal-Prozess),  (t-Kanal-Prozess) und  (u-Kanal-Prozess) Randwerte einer analytischen Funktion sind (Crossing-Symmetrie), die Grundlage der Dispersionsrelationen, mit deren Hilfe die Pole bzw. Schnitte der Streuamplitude eindeutig mit den gebundenen bzw. Streuzuständen des betrachteten Systems in Verbindung gesetzt werden können. Weitere Ergebnisse der S-Matrix-Theorie sind die Bootstrap-Hypothese sowie die Regge-Pol-Theorie, die die Pole der Partialwellenamplituden – wenn man die Partialwellenzerlegung als Integral über die komplexe Drehimpulsebene schreibt (Streutheorie) – mit gebundenen Zuständen bzw. Resonanzen identifiziert. Dabei zeigt sich zum einen, dass das hochenergetische Streuverhalten im s-Kanal durch die energetisch niedrigsten Pole im t-Kanal bestimmt ist und umgekehrt, und zum anderen, dass der Streuquerschnitt für  nicht gegen Null, sondern gegen eine Konstante geht, es also einen Pol für  gibt, der Strangeness und Isopin Null hat und als Pomeron bezeichnet wird. Als Folge davon ist der totale Streuquerschnitt für Teilchen und Antiteilchen gleich (Pomerantschuk-Theorem).

Einen weiteren Meilenstein dieser Entwicklungen stellt die 1968 postulierte Veneziano-Amplitude dar, die die empirisch motivierte Dualitätshypothese realisiert. Diese besagt, dass sich die vollständigen Streuamplituden auf zwei duale Weisen berechnen lassen: entweder durch Summation über alle -Kanal- oder alternativ alle -Kanal-Feynman-Diagramme (Mandelstam-Variablen). Die Veneziano-Amplitude kann als Streuamplitude einer Theorie eindimensionaler Objekte, sogenannter Strings, hergeleitet werden und bildet damit den Beginn der Stringtheorie. Die hadronischen Zustände sind die harmonischen Anregungen des Strings, und ihre Massen ergeben sich als ganzzahlige Vielfache einer charakteristischen Energieskala, die durch die Stringspannung  gesetzt wird. Alle Zustände liegen auf parallelen Regge-Trajektorien mit Drehimpuls  und Steigung . Die Grösse  ist die für die Stringtheorie charakteristische Längenskala.