Techniklexikon

Einstein-Gleichungen

Relativitätstheorie und Gravitation, die grundlegenden Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie:

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G_ab ist hier die Metrik, L die kosmologische Konstante, k die Einsteinsche Gravitationskonstante und T_ab der Energie-Impuls-Tensor. Der Krümmungstensor R^a_bgd wird hier benötigt, um sukzessive zuerst den Ricci-Tensor , daraus den Krümmungsskalar R = R^a_a und schliesslich den Einstein-Tensor  zu definieren.

Die Einstein-Gleichungen beschreiben den quantitativen Zusammenhang zwischen der Metrik g_ab der Raumzeit, die eine vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit darstellt, und dem Energie-Impuls-Tensor T_ab. Die zehn unabhängigen Komponenten der Metrik sind dadurch bis auf vier beliebige Koordinatentransformationen eindeutig bestimmt. Durch die Form der Feldgleichungen unterscheidet sich die Allgemeine Relativitätstheorie von anderen Mitgliedern der Klasse der metrischen Gravitationstheorien.

Die Einstein-Gleichungen (1) können nicht streng bewiesen werden, sondern sind als Axiome zu verstehen; sie können jedoch eindeutig hergeleitet werden, wenn man von den folgenden Bedingungen ausgeht (Allgemeine Relativitätstheorie):

1) Die Gleichungen müssen kovariant sein.

2) Die Raumzeit besitzt ausser der Metrik keine weitere geometrische Struktur.

3) Die Feldgleichungen enthalten keine höheren Ableitungen der Metrik als die zweite.

4) Im nichtrelativistischen Grenzfall, also bei schwachen Feldern und kleinen Geschwindigkeiten, muss die Theorie in die Newtonsche Gravitationstheorie übergehen.

Ausgehend von diesen Bedingungen fand Einstein die Feldgleichungen im November 1915.

Die vierte Bedingung fixiert die Gravitationskonstante k, da die Gleichungen im nichtrelativistischen Grenzfall in die Poisson-Gleichung  für das Newtonsche Gravitationspotential U übergehen, wenn (G = Newtonsche Gravitationskonstante) gesetzt wird.

Praktisch gleichzeitig und unabhängig von Einstein leitete der Mathematiker David Hilbert die Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie durch die Variation der Wirkung

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her, wobei über eine beliebige Raumzeit-Region W integriert wird. Die Lagrange-Dichten L_G bzw. L_M bilden den geometrischen bzw. den materiellen Teil der Wirkung W. Hilbert setzte  mit g = det(g_ab) und erhielt so die Einstein-Gleichungen (1) als Euler-Lagrange-Gleichungen der Wirkung (2). Bei diesem Zugang ergibt sich der Energie-Impuls-Tensor als die Variationsableitung

,

wobei eine der physikalischen Situation angemessene Materie-Lagrange-Dichte L_M gewählt werden muss. [RAP]