Techniklexikon

Singularität

Mathematische Methoden und ComputereinsatzRelativitätstheorie und Gravitation,

1) Mathematik: singulärer Punkt, (1) einer Kurve: Punkt einer Kurve, in dem die Bildung der Tangente nicht möglich ist, da die Kurve in diesem Punkt nicht differenzierbar ist, z.B weil die Kurve dort eine Spitze hat oder sich selbst schneidet. Beispiel: die Kurve  hat in  eine Spitze. (2) einer Fläche: Punkt, in dem die Fläche nicht differenzierbar ist und daher die Bildung des Normalenvektor nicht möglich ist. (3) einer Differentialgleichung: Punkt  in dem eine der beiden Funktionen  oder  in der Differentialgleichung  divergiert. Bleiben  und  endlich, so heisst  regulärer singulärer Punkt oder unwesentliche Singularität, andernfalls spricht man von einem irregulären singulären Punkt oder einer wesentlichen Singularität. (4) einer Funktion: ein isolierter Punkt  im Definitionsbereich einer Funktion , in dem die Funktion nicht definiert ist. Dabei können die folgenden Singularitäten unterschieden werden: a) Es ist möglich, einen Funktionswert  derartig zu definieren, dass die Funktion analytisch fortgesetzt wird (hebbare Singularität); Beispiel: die Funktion  kann mit  stetig-differenzierbar fortgesetzt werden. b) Es gilt  für alle , aber  (Pol n-ter Ordnung); Beispiel: die Funktion  hat einen Pol dritter Ordnung in . c)  für alle  (wesentliche Singularität); Beispiel: die Funktion  hat in  eine wesentliche Singularität.

2) in der Allgemeinen Relativitätstheorie »Ort«, an dem physikalische Grössen wie etwa die raumzeitliche Krümmung divergieren. Bereits die genaue Definition von Singularitäten weist besondere Probleme auf, die in der ungekrümmten Raumzeit nicht bekannt sind. Anschliessend ist zu untersuchen, inwieweit die Einstein-Gleichungen für eine gegebene Situation die Existenz einer solchen Singularität bedingen. Dies ist Gegenstand der Singularitätentheoreme. Dabei ist zu erwähnen, dass die Existenz von Singularitäten zwar eine Konsequenz der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie ist, unter den extremen Bedingungen bei Annäherung an eine Singularität die klassische Beschreibung aber zusammenbricht. An ihre Stelle tritt dann eine noch zu findende Quantengravitation, deren Implikationen eventuell die klassisch vorhergesagten Divergenzen vermeiden.

Zur Definition: Im Unterschied zu anderen physikalischen Theorien ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie die Struktur der Raumzeit-Mannigfaltigkeit nicht »exogen« vorgegeben, sondern wird durch die Theorie selbst bestimmt. Es ist also nicht sinnvoll, von einem bestimmten Ort zu reden, an welchem physikalische Grössen divergieren. Infolge der Singularität existiert keine Metrik im eigentlichen Sinne an der Singularität; mithin ist dieser »Punkt« auch nicht Bestandteil der Raumzeit. Ein weiteres Problem ist die Frage, welche Grösse man zur Charakterisierung einer Singularität verwenden sollte. Um sich von Koordinaten unabhängig zu machen, greift man zu skalaren Grössen wie etwa den Krümmungsskaler  (Krümmungstensor) oder , wobei  der Ricci-Tensor ist. Die Divergenz derartiger skalarer Grössen mag jedoch daher herrühren, dass man in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit gegen einen im Unendlichen liegenden Punkt geht. Das aber ist keine Singularität im eigentlichen Sinne wie etwa der Urknall. Man braucht also geeignetere Definitionen bzw. Kriteria für Singularitäten.

Wie bereits erwähnt, hinterlassen Singularitäten »Löcher« in der Raumzeit. Dies hat zur Konsequenz, dass Geodätische (Geodäte), welche auf diese Singularitäten zuführen, unvollständig sind und daher eine endliche Länge besitzen. Zwar gibt es »pathologische« Raumzeiten, die keine »Singularitäten-Löcher« besitzen, obwohl sie geodätisch unvollständig im obigen Sinne sind. Diese aber haben sicher auf Grund ihrer pathologischen Struktur »singulären Charakter«. Man definiert daher Singularitäten dadurch, dass es unvollständige Geodätische gibt, die auch nicht ergänzbar sind.

Unter welchen Bedingungen existieren die auf diese Weise definierten Singularitäten? Diese Frage beantworten die sog. Singularitätentheoreme, deren wesentliche Aussagen hier wiedergegeben werden sollen. Das erste besagt, dass in einer global hyperbolischen Raumzeit, in welcher die starke Energiebedingung erfüllt ist (der Druck ist betragsmässig kleiner als die Energiedichte, welche ausserdem nicht-negativ sein darf) und die extrinsische Krümmung eine negative obere Schranke für eine geeignete Cauchy-Hyperfläche nirgends übersteigt, alle zeitartigen Geodätischen in Vergangenheitsrichtung unvollständig sind. Angewandt auf unser Universum besagt dieses Theorem, dass ein global hyperbolisches Universum, welches zu einem Zeitpunkt überall mit einer Rate expandiert, welche der Null nicht beliebig nahekommt, in der Vergangenheit sich aus einem singulären Zustand heraus entwickelt haben muss (Big Bang).

Das zweite Singularitätentheorem (Hawking 1967) benötigt nicht die Voraussetzung der globalen Hyperbolizität. Setzt man statt dessen voraus, dass die Cauchy-Hyperfläche kompakt ist (d.h. das Universum ist geschlossen), so erhält man die Aussage, dass zumindest eine zeitartige Geodätische in Vergangenheitsrichtung unvollständig ist. Dies aber ist ausreichend für die Existenz eines singulären Zustands, aus dem heraus sich das Universum entwickelt hat.

Während die beiden eben besprochenen Singularitätentheoreme hauptsächlich in der Kosmologie ihre Anwendung finden, sind die restlichen beiden in der Theorie der Schwarzen Löcher von Nutzen. Ein von Penrose 1965 bewiesenes Theorem besagt, dass eine global hyperbolische, zusammenhängende Raumzeit-Mannigfaltigkeit mit nicht-kompakter Cauchy-Hyperfläche und mit einer zweidimensionalen, raumartigen Untermannigfaltigkeit dergestalt, dass die Expansion der zukunftsgerichteten Nullgeodätischen senkrecht zu dieser Oberfläche überall negativ ist (»trapped surface«), notwendig eine unvollständige Nullgeodätische besitzt, falls die schwache oder die starke Energiebedingung erfüllt ist. Der Zustand endet also in einem Gravitationskollaps.

Auch hier kann man die Annahme der Hyperbolizität der Raumzeit-Mannigfaltigkeit durch andere Annahmen ersetzen. Dies ist Gegenstand eines 1970 von Hawking und Ellis bewiesenen Singularitätentheorems. Zusammenfassend besagen die hier vorgestellten Singularitätentheoreme, dass die Existenz von Singularitäten unter den Bedingungen, wie sie in unserem Universum vorliegen, im Rahmen der klassischen Allgemeinen Relativitätstheorie unausweichlich ist.