Techniklexikon

Gutzwillers Spurformel

Nichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, ein semiklassischer Ausdruck für die Zustandsdichte in Quantensystemen, die klassisch chaotisch sind (Quantenchaos). In diesem Sinne liefert sie eine Quantisierungsvorschrift für chaotische Systeme, ähnlich wie die Einstein-Brillouin-Keller-Quantisierung (EBK- oder Torus-Quantisierung) für integrable Systeme. Sie wurde von M.C. Gutzwiller Ende der 60er Jahre entwickelt und beruht auf einer Darstellung der Zustandsdichte  eines Quantensystems mit Hamilton-Operator  durch die periodischen Orbits des entsprechenden klassischen Systems. Die Herleitung benutzt eine Darstellung der Spur über die Delta-Funktion

wobei die Spurbildung im Ortsraum  und eine anschliessende Sattelpunktsnäherung (h  0) für den Propagator  bewirken, dass nur periodische Orbits beitragen.

Gutzwillers Arbeiten stellen somit einen frühen Beitrag zum quantenmechanischen Zweig der Periodische-Orbit-Theorie dar. Die Spurformel lautet im Spezialfall eines stark chaotischen Systems mit zwei Freiheitsgraden (alle periodischen Orbits isoliert und instabil) , wobei die gemittelte Zustandsdichte (E) abgespalten wurde und der zweite Teil oszillatorische Korrekturen r_osz(E) darstellt. Die Summe geht über alle periodischen Orbits (inklusive wiederholter Durchgänge), T₀ ist die einfache Periodendauer des jeweiligen Orbits,  die Wirkung entlang des Orbits, c sein Instabilitätsindex (d.h. e^c ist der maximale Eigenwert der linearisierten Stabilitätsmatrix des zugehörigen Fixpunktes in der Poincaré-Abbildung) und l ist ein ganzzahliger Index, der mit der Torsion des jeweiligen Orbits zusammenhängt. Mit Hilfe der Spurformel konnten Aspekte der Zufallsmatrizen-Theorie (Gausssche Ensembles) für klassisch chaotische Quantensysteme hergeleitet werden. In praktischen Anwendungen der Formel erhält man typischerweise verbreiterte Spektrallinien (wie sie häufig im Experiment gemessen werden), da meist nicht alle periodischen Orbits eines klassisch chaotischen Systems bekannt sind. Es existieren verschiedene Varianten der Spurformel (Resummation der Terme) mit verbesserten Konvergenzeigenschaften.