Techniklexikon

Fixpunkte

Thermodynamik und statistische PhysikNichtlineare Dynamik, Chaos, Fraktale, 1) nichtlineare Dynamik: stationäre Punkte eines zeitlich diskreten dynamischen Systems x_t+1 = f(x_t) oder eines kontinuierlichen Systems . In letzteren nennt man sie auch Gleichgewichtspunkte oder Ruhelagen. Die Fixpunkte sind durch die Gleichungen x^* = f(x^*) bzw. F(x^*) = 0 festgelegt. Man klassifiziert die Fixpunkte nach dem Verhalten der dynamischen Systeme in ihrer unmittelbaren Nachbarschaft, indem man kleine Abweichungen y(t) º x(t)-x^* vom jeweiligen Fixpunkt x^* untersucht. Im Fall zeitlich kontinuierlicher Systeme führt das auf das linearisierte Problem  mit der Jacobi-Matrix  und der Lösung y(t) = e^Aty(0). Ein Fixpunkt heisst (lokal) stabil (bzw. instabil), wenn alle Eigenwerte l_i von A negativen (bzw. positiven) Realteil besitzen, da dann alle benachbarten Punkte vom Fixpunkt angezogen (bzw. abgestossen) werden. Stabile Fixpunkte stellen die einfachste Form eines Attraktors dar. Die wichtigsten Typen von Fixpunkten für zweidimensionale Systeme sind: Stabiler bzw. instabiler Knoten: l_i reell und l_i < 0 bzw. l_i > 0; Sattel: l_i reell und l₁ · l₂ < 0; Stabiler bzw. instabiler Fokus: l_i komplex und Re l_i < 0 bzw. Re l_i > 0; Zentrum: l_i komplex und Re l_i = 0.

Die Normalformen der lokalen Phasenporträts (Vektorfelder) für diese Typen von Fixpunkten sind in der Abbildung dargestellt.

Bei diskreten Abbildungen wird ein Zentrum meist als elliptischer Fixpunkt und ein Sattel als hyperbolischer Fixpunkt bezeichnet. Letztere existieren ohne und mit Reflexion, je nachdem, ob der betragsmässig grössere Eigenwert l₁ von A positiv oder negativ ist (eine Unterscheidung, die für kontinuierliche Systeme nicht zutrifft).

Fixpunkte in mehr als zwei Dimensionen lassen sich nach ähnlichen Kriterien klassifizieren. Die Punkte periodischer Orbits, z.B. der Periode n, sind Fixpunkte der n-ten Iterierten einer diskreten Abbildung x^* = fⁿ(x^*).

2) Thermodynamik: physikalisch sehr genau definierte und gut reproduzierbare thermodynamische Gleichgewichtszustände, die der Eichung und Kalibrierung von Thermometern dienen. Die Fixpunkte werden durch internationale Übereinkunft definiert und entsprechend dem Stand der Messtechnik in gewissen Abständen neu festgesetzt (Internationale Temperaturskala von 1990).

Fixpunkte: Verschiedene Arten von Fixpunkten mit den sie charakterisierenden Flusslinien (für zweidimensionale dynamische Systeme): a) stabiler Knoten, b) Sattel, c) stabiler Fokus, d) Zentrum. Die instabilen Versionen zu a) und c) erhält man durch Umkehrung der Vektorpfeile.