Techniklexikon

Green-Funktionen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Funktionen, die elementare Lösungen linearer Differentialoperatoren darstellen. Ist D ein linearer Differentialoperator auf einem Gebiet X Ì ⁿ mit differenzierbaren Koeffizientenfunktionen, so heisst eine (verallgemeinerte) Funktion G_x(x) = G(x,x) eine Green-Funktion von D, fallsDG_x(x) = d_x(x),

mit x, x Î X und der Diracschen Delta-Funktion d_x(x) = d(x, x) = d(x - x). Aus der Kenntnis der Green-Funktionen kann man dann spezielle Lösungen f der inhomogenen Gleichung

Df(x) = s(x)                                            (1)

für beliebige »Quellen« s gewinnen durch die magische Formel

.                       (2)

Allgemeine Lösungen erhält man dann durch Addition von Lösungen der homogenen Gleichung (s = 0).

Aus einer bestimmten Green-Funktion lassen sich mit Gl. (2) nicht alle Lösungen gewinnen. Verschiedene Klassen von Lösungen, für die unterschiedliche Green-Funktionen benötigt werden, unterscheiden sich durch ihre Anfangs- oder Randbedingungen. Die Auswahl einer geeigneten Green-Funktion zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1) hängt auch ab von den Eigenschaften der Quellfunktion s. Bei der Ermittlung von Green-Funktionen findet häufig die Fourier-Transformation Anwendung. - In der Operatorendarstellung spricht man vom Greenschen Operator, der in den Quantenfeldtheorien als Propagator bezeichnet wird.Beispiele:

1) X = , D = d / dx: eine Green-Funktion ist G_x(x) = q(x - x) mit der Heaviside-Funktion q. Aus Gl. (2) wird

.

Der Ausdruck ist genau dann definiert, wenn s bei -¥ integrierbar ist. Es ist aber auch q(x - x) + K eine Green-Funktion für jede Konstante K. Diese Mehrdeutigkeit kann durch Wahl einer Anfangsbedingung, z.B. x = - ¥, für G vermieden werden. Die Anfangsbedingung diktiert dann die Wahl der zulässigen Quellen. So muss für K = -1 die Quellfunktion s bei x = +¥ integrierbar sein, für K Ï {0,-1} muss s bei x = ±¥ integrierbar sein.

2) Gedämpfter harmonischer Oszillator: X = , , mit . Eine Green-Funktion ist

mit . Diese kausale Green-Funktion beschreibt die Zeitentwicklung eines Oszillators, der am Anfang (t = -¥) in Ruhe ist und zur Zeit t durch einen kurzen Kraftstoss in Schwingung versetzt wird.

3) Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung: Df(x) = -Df(x) = r(x) in einem Gebiet X Ì ³. Die Greenschen Funktionen von D sind

,x; x Î , wobei h_x die Laplace-Gleichung Dh_x = 0 erfüllt (harmonische Funktionen). Für eine Ladungsverteilung r mit kompaktem Träger in X ist , x Î X eine Lösung. Jede Lösung muss nach dem Greenschen Satz die Integralgleichung

erfüllen (da: Flächenelement von ¶X mit äusserer Flächennormale n). Beim Dirichletschen Randwertproblem sucht man die (eindeutige) Lösung f, die auf ¶X vorgegebene Werte annimmt. Dazu wählt man h so, dass  () und erhält

.G^D ist symmetrisch: .

4) Wellengleichung im Minkowski-Raum: of(t, x) = s(t, x), o: D\'Alembert-Operator. Die sog. kausale oder retardierte Green-Funktion ist

,

mit der Heaviside-Funktion q. Sie beschreibt eine Welle, die zur Zeit t am Ort x erzeugt wird. Ihr Träger ist der von (t, x) ausgehende Zukunftslichtkegel. Die avancierte Green-Funktion

beschreibt eine Welle, die zur Zeit t am Ort x vernichtet wird. Ihr Träger ist der in (t,x) mündende Vergangenheitslichtkegel (Wellengleichung).

5) Klein-Gordon-Operator^[n]: o + m²: Wie bei der Wellengleichung gilt für die Green-Funktionen

.

Die retardierte Green-Funktion ist

 

mit der Fourier-Transformierten

.

Die avancierte Green-Funktion erhält man, indem man e durch -e ersetzt. Wichtig für die Quantenfeldtheorie ist die als Feynman-Propagator (Propagator) bekannte Green-Funktion

.

Die expliziten Ausdrücke für G(t, x) enthalten Bessel-Funktionen und Neumann-Funktionen. [SD]