Techniklexikon

Randbedingungen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, 1) bei Differentialgleichungen spezifizierte Nebenbedingungen (engl. boundary conditions). Bei gewöhnlichen Differentialgleichungssystemen werden für jede Differentialgleichung so viele Randbedingungen benötigt, wie deren Ordnung ist. Statt n Randbedingungen für eine gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung können auch die Anfangswerte der Funktion und der ersten  Ableitungen bzw. eine Mischung von Randbedingungen und Anfangswerten spezifiziert werden. Bei partiellen Differentialgleichungen, die als Randwertprobleme auftreten, z.B. der Poisson-Gleichung oder der Laplace-Gleichung, mit gesuchter Lösungsfunktion  unterscheidet man Dirichletsche Randbedingungen (Vorgabe der Funktionswerte auf dem Rand, d.h.  mit Bogenlänge  entlang des Randes ) und Cauchysche Randbedingungen (Vorgabe der Normalenableitung auf dem Rand, d.h. ) bzw. im Falle  Neumannsche Randbedingungen. Formuliert man das Randwertproblem als Variationsprinzip, so ergeben sich Dirichletsche und Cauchysche Randbedingungen als natürliche Randbedingungen. Bei parabolischen Differentialgleichungen oder hyperbolischen Differentialgleichungen müssen neben den Randbedingungen noch Anfangsbedingungen vorgegeben werden. Weitere typische Randbedingungen in der Physik sind periodische Randbedingungen und solche, die vorgeben, dass sich der Betrag einer interessierenden Funktion im Unendlichen asymptotisch dem Wert Null nähert.

2) in der mathematischen Optimierung spezifizierte Nebenbedingungen (engl. constraints). Hier treten neben der zu maximierenden Zielfunktion  häufig Randbedingungen der Form  und  auf. Sind die Gradienten von  und  konstant, so ist durch die Randbedingungen ein Polyeder definiert. Ist  und  konvex, so ist der durch die Randbedingungen zugelassene Bereich ebenfalls konvex. Die Konvexität spielt in der Optimierung eine wichtige Rolle, da bei konvexen Problemen das lokale Optimimum identisch mit dem globalen Optimum ist.