Techniklexikon

Wellengleichung

Schwingungen und WellenElektrodynamik und ElektrotechnikQuantenmechanik, eine partielle Differentialgleichung (oder ein System von partiellen Differentialgleichungen) vom hyperbolischen Typ für die vom Ort  und der Zeit  abhängige schwingungsfähige Grösse  zur Beschreibung der Ausbreitung von Wellen. Die einfachsten Verhältnisse erhält man für ein homogenes, isotropes Medium. Bei Abwesenheit von Dämpfung wird die Wellenausbreitung in diesem Fall durch die d\'Alembertsche Wellengleichung beschrieben. Diese lautet in Abwesenheit von Quellen und Senken

Dabei ist  die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen. Die d\'Alembertsche Wellengleichung tritt in vielen Bereichen der Physik auf. Sie beschreibt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen, Schallwellen, Gravitationswellen usw. Im Rahmen der Quantenfeldtheorie ist sie grundlegend für Felder, denen Teilchen ohne Ruhemasse entsprechen. Auf Grund der Linearität der d\'Alembertschen Wellengleichung gilt das Superpositionsprinzip, d.h. verschiedene Wellen breiten sich unabhängig voneinander aus. Mathematisch gesehen besagt es, dass die Summe zweier Lösungen wieder eine Lösung ist. Durch die Angabe der Anfangsbedingungen für  und  im ganzen Raum zu einer Zeit  ist der räumliche und zeitliche Verlauf der Welle eindeutig bestimmt. Dabei breiten sich Störungen, die von einem Punkt  ausgehen, entlang des zu diesem Punkt gehörigen charakteristischen Kegels

aus.

Eine besonders wichtige Klasse von speziellen Lösungen der Gleichung (1) sind ebene, monochromatische Wellen. Sie sind gegeben durch

mit . Jede Lösung der Wellengleichung lässt sich als Überlagerung von Wellen dieses Typs in Form des Fourier-Integrals

darstellen, was ihre grosse Bedeutung in praktischen und auch theoretischen Fragen begründet.

Die Wellengleichung in der klassischen Elektrodynamik leitet sich direkt aus den Maxwell-Gleichungen ab, indem die Rotation der Terme Ñ ´ E und Ñ ´ B gebildet und unter Berücksichtigung der für beliebige Vektoren a geltenden Identität Ñ ´ (Ñ ´ a) = Ñ(Ñ × a) – Da  in die Ausdrücke für die Divergenzen in den Maxwell-Gleichungen eingesetzt werden. Es ergibt sich DE = (1 / c²)(¶²E / ¶t²) sowie eine analoge Gleichung für B.  ist die Lichtgeschwindigkeit, also die Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen mit den im Ausbreitungsmedium geltenden Materialkonstanten e (Dielektrizitätskonstante) und m (Permeabilität).

Zu den relativistischen, d.h. Lorentz-kovarianten Wellengleichungen gehören z.B. die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung.