Techniklexikon

Transformation

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Abbildung oder Funktion, die eine mathematische, geometrische oder physikalische Grösse einer Umformung unterwirft. In der Geometrie spielen besonders die anschaulichen Transformationen Drehbewegung, Spiegelung und Translation eine Rolle. In der theoretischen Physik haben Invarianzen der physikalischen Grössen und Gleichungen gegenüber bestimmten Transformationen eine grosse Bedeutung. Hierzu zählen die Galilei-Transformation der Newtonschen Mechanik und die Lorentz-Transformation der Speziellen Relativitätstheorie. Eine besondere Rolle in der Physik, speziell in der Elementarteilchenphysik, spielen Eichtransformationen. Mit Hilfe eines Variationsprinzipes lassen sich z.B. in der klassischen Mechanik aus der Lagrange-Funktion , aber auch aus der Umeichung  dieselben Bewegungsgleichungen gewinnen, wenn  eine beliebige, nur von den verallgemeinerten Koordinaten  und der Zeit  abhängige Funktion darstellt. Da die Eichtransformationen von einer beliebigen Funktion abhängen, bilden sie eine unendliche kontinuierliche Lie-Gruppe; beobachtbare Eigenschaften eines physikalischen Systems besitzen die innere Symmetrie der Eichgruppe. Zum technischen Handwerkszeug eines Physikers oder Ingenieurs gehören die Koordinatentransformationen, die eine angepasste Beschreibung eines vorliegenden Problems ermöglichen. In der numerischen Mathematik, z.B. bei der Lösung des linearen Ausgleichsproblems, dienen orthogonale Transformationen zur Stabilisierung numerischer Lösungsverfahren. Lineare Transformationen lassen sich durch eine Transformationsmatrix beschreiben. Da bei der Matrizenmultiplikation die Reihenfolge der Matrizen bedeutsam ist, verwundert es nicht, dass auch bei Transformationen in der Regel die Reihenfolge nicht vertauscht werden darf.