Techniklexikon

Tensoralgebra

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Formalismus, der beschreibt, welche algebraischen Operationen beim Umgang mit Tensoren in welcher Weise möglich sind. Hierzu gehören die Summation von Tensoren (sie erfolgt komponentenweise und ist kommutativ), die Multiplikation mit Skalaren, Vektoren und Tensoren, die Verjüngung und Überschiebung von Tensoren sowie das Transformationsverhalten von Tensoren. Diese folgen den Regeln der linearen Algebra; aus historischen Gründen liegt der Tensoralgebra noch ein eigentümlicher Formalismus zugrunde, der hier kurz beleuchtet werden soll.

Zunächst seien Tensoren 1. Stufe, d.h. Vektoren, betrachtet. Sei in einem -dimensionalen euklidischen Vektorraum eine Basis  mit  Basisvektoren  gegeben. Ein beliebiger Vektor  besitzt dann gemäss der Eigenschaften eines Vektorraums die Darstellung , wobei nach den Regeln der Tensoralgebra die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Der Betrag des Vektors ergibt sich zu , wobei die Metrikkoeffizienten  später als Metriktensor  bezeichnet werden. Neben der bisher betrachteten Basis , die in der Tensoralgebra auch kovariante Basis genannt wird, wird vermöge der Skalarprodukt-Beziehung  mit Kroneckersymbol  die kontravariante Basis  eingeführt. Schreibt man die Basisvektoren  als Spalten einer Matrix , so ist die Matrix  der kontravarianten Basis also durch die Bedingung  gegeben, also  bzw.  und , wobei sich die Matrix  der kontravarianten Metrikkoeffizienten ebenfalls als inverse Matrix von  ergibt. Der oben betrachtete Vektor  lässt sich nun sowohl bezüglich der kovarianten als auch der kontravarianten Basis darstellen: , wobei die  die kovarianten und die  die kontravarianten Komponenten des Vektors  genannt werden. Zu den Basisoperationen der Tensoralgebra gehören das Heraufziehen des Index (Beispiel: ) und Herunterziehen des Index (Beispiel: ). Geht man nun mit Hilfe einer linearen Transformation  von einer bestimmten kovarianten Basis  zu einer anderen kovarianten Basis  (bzw.: ) über, so wird der umgekehrte Übergang von  nach  gerade durch die inverse Transformationsmatrix  vollzogen. Ein Vektor  bzw. jeder Tensor 1. Stufe transformiert sich wie die Basis, d.h. ; derartiges Transformationsverhalten heisst kogredient. Kovariante und kontravariante Koeffizienten kontrahieren sich dagegen kontragredient zueinander.

Das einfachste Beispiel eines Tensors 2. Stufe lässt sich aus dem dyadischen Produkt  zweier Vektoren ableiten, wobei  die kontravarianten,  die kovarianten,  und  die gemischt kovariant-kontravariante Komponenten genannt werden und  die kovariante,  die kontravariante und  und  gemischte Basen darstellen. Für dyadische Produkte gelten ferner das Distributivgesetz  und das Assoziativgesetz . Das Transformationsverhalten eines Tensors 2. Stufe ist durch  bzw.  charakterisiert, wobei  die Koeffizienten der inversen Transformationsmatrix  bezeichnet. Durch Multiplikation mit den Metrikkoeffizienten können Indizes herunter- und heraufgezogen werden, z.B.

Die »verjüngende« Multiplikation eines Tensors 2. Stufe  mit einem Tensor 1. Stufe  erzeugt mit der Vorschrift

einen neuen Vektor, ebenso wie die verjüngende Multiplikation von links gemäss

erfolgt.

Ein Tensor -ter Stufe lässt sich definieren als Grösse, deren Basis ein tensorielles Produkt von  Grundvektoren, also

ist; entsprechend gibt es  Arten von Komponenten: rein kovariante, rein kontravariante und  Arten gemischter Komponenten. Die Behandlung derartiger Tensoren folgt der allgemeinen Transformationsregel, dass für jeden kovarianten bzw. kontravarianten Index dieselben Transformationsregeln wie für die kovarianten bzw. kontravarianten Komponenten eines Tensors 1. Stufe gelten.

Anders als das verjüngende Produkt ergibt das tensorielle Produkt zweier Tensoren  und  einen Tensor  -ter Stufe; es ist assoziativ, jedoch nicht kommutativ. Beispiel: