Techniklexikon

Schrödinger-Gleichung

Quantenmechanik, Bewegungsgleichung für die den Zustand eines quantenmechanischen Systems beschreibende Wellenfunktion, die Schrödinger-Funktion, allgemeiner für den entsprechenden Zustandsvektor y. Die Schrödinger-Gleichung wurde erstmals von E. Schrödinger (1926) angegeben und lautet , wobei  (h: Plancksches Wirkungsquantum, : der von den Orts- und Impulsoperatoren  und  abhängende Hamilton-Operator). In der Ortsdarstellung lautet die Schrödinger-Gleichung für ein Teilchen der Masse m im Potential V(r) in kartesischen Koordinaten:

(: Laplace-Operator). Neben dieser zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung ergibt sich durch den Ansatz  die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung , die im eben betrachteten Spezialfall in

übergeht; sie ist die Eigenwertgleichung für den Hamilton-Operator  und hat nur für ganz bestimmte Werte , die Energieeigenwerte, (normierbare) Lösungen , die Eigenlösungen, auch Eigenfunktionen genannt, die gebundene stationäre Zustände des Systems beschreiben (Eigenwerte). Durch nicht-normierbare, aber beschränkte Lösungen kann man stationäre Streuprozesse beschreiben; das Energiespektrum ist dann kontinuierlich.

Bei mehreren Teilchen ist die Wellenfunktion eine Funktion aller Ortskoordinaten; der Hamilton-Operator entsteht aus der klassischen Hamilton-Gleichung (Analytische Mechanik), indem man alle verallgemeinerten Impulse  durch die Operatoren  ersetzt. Relativistische Verallgemeinerungen sind die Klein-Gordon-Gleichung und die Dirac-Gleichung. Die Schrödinger-Gleichung und ihre Verallgemeinerungen sind grundlegend für die Theorie des Atom- und Molekülbaus und für viele Probleme der Kern- und Elementarteilchenphysik.