Techniklexikon

Gittereichtheorie

Thermodynamik und statistische PhysikQuantenmechanikTeilchenphysik, von K.G. Wilson (1974) allgemein formulierte nichtperturbative Renormierungsmethode von Quantenfeldtheorien, die vor allem auf die Quantenchromodynamik (QCD) angewendet wird. Sie erlaubt es, die grundlegenden Eigenschaften des Niederenergiespektrums der starken Wechselwirkung wiederzugeben und Effekte zu berechnen, die ausserhalb des Anwendungsbereichs der Störungstheorie liegen. So liefert die QCD auf dem Gitter überzeugende Argumente für den Quarkeinschluss (Confinement), obwohl der strenge Beweis dieses Phänomens noch aussteht.

Das mathematische Konzept der Gittereichtheorie besteht in der Verwendung eines kubischen Gitters mit diskreten Punkten anstelle des Raum-Zeit-Kontinuums. Dieser Kunstgriff, auch als Regularisierung bezeichnet, erlaubt Rechnungen, die für ein Kontinuum undurchführbar sind. Der endliche Gitterpunktabstand sorgt für das nötige Cut-off der UV-Divergenzen (Abschneidevorschrift). Die Untersuchung des Skalierungsverhaltens von physikalischen Grössen mit dem Gitterabstand führt, ähnlich wie das Studium von Kritikalität und Phasenübergängen bei Festkörpergittern, zu den Renormierungsgruppengleichungen (Gittermodelle). Um Eichtheorien auf dem Gitter berechnen zu können, braucht man eine eichkovariante Darstellung der Konnexion (des Vektorpotentials). Die Bildung der Exponentialfunktion des Vektorpotentials, , führt zu den Gruppenelementen der Eichgruppe, die auf den Verbindungslinien des Gitters plaziert sind. Die Yang-Mills-Wirkung (Yang-Mills-Theorie) kann mit einer Summe über die kleinsten geschlossenen Pfade (Plaketten) genähert werden:  für SU(N). Erwartungswerte, z.B. die des Wilson-Loops, können numerisch berechnet werden, als wären sie Erwartungswerte eines kanonischen Ensembles, das der Boltzmann-Verteilung  gehorcht, wobei  die inverse Kopplungsstärke darstellt.

Allerdings müssen einige Nachteile in Kauf genommen werden, wenn man die QCD auf ein Gitter bringt: zum einen erlaubt die verwendete euklidische Metrik nur die Berechnung statischer Eigenschaften; darüber hinaus bricht die Diskretisierung der Raum-Zeit die kontinuierlichen Rotations- und Translationssymmetrien; schliesslich ist die Genauigkeit der Rechnungen durch die zur Verfügung stehende Computerrechenzeit beschränkt. Trotzdem bleibt die gittertheoretische Behandlung der QCD attraktiv, da die berechneten physikalischen Grössen, beispielsweise die Energiezustände eines Quark-Antiquark-Paares (), experimentell messbar sind. Solche Ergebnisse können dann u.a. dazu benutzt werden, die QCD-Kopplungskonstante a_s zu bestimmen und die Phasenübergänge im Standardmodell eingehend zu untersuchen. [UK, TB2, TF3]