Techniklexikon

Konnexion

affiner Zusammenhang, wichtige Zusatzstruktur auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, die es gestattet, eine kovariante Ableitung zu definieren, welche Tensorfelder in Tensorfelder überführt. Die übliche Ableitung eines Vektorfeldes ist kein Tensor, da sie keine koordinatenunabhängige Bedeutung hat: die Werte eines Vektors V für zwei Punkte P und Q auf einer Parameterkurve sind abhängig von dem jeweils lokalen Koordinatensystem, und es ist nicht möglich, einen sinvollen Differenzenvektor V(Q) - V(P) zu definieren. Vielmehr ist es notwendig, V(P) durch einen Vektor V(P  Q) in Q zu repräsentieren, d.h. eine Vorschrift zu geben, wie V(P  Q) durch V(P) auszudrücken ist. Der affine Zusammenhang defniert dazu den Paralleltransport entlang der Kurve. Seine konkrete Definition lässt sich am besten durch die Wahl eines Koordinatensystems angeben: liegen P und Q auf einer Kurve  und sind durch einen infinitesimalen Abstand dl getrennt, dann lauten die Komponenten von V(P  Q)

Die Funktionen  werden Zusammenhangskoeffizienten genannt. Sie existieren an jedem Punkt der Mannigfaltigkeit und sind nicht mit einer irgendeiner Kurve verknüpft; der Paralleltransport hingegen ist nur entlang einer Kurve definiert. Das bedeutet, dass der nach Q transportierte Vektor vom Weg abhängt und somit die Krümmung der Mannigfaltigkeit ausdrückt (Krümmungstensor). Durch den Paralleltransport ist es nun möglich, den Vektor DV^m / dl =(dx^s / dl) zu definieren mit der kovarianten Ableitung