Techniklexikon

Bethe-Ansatz

1931 von H. Bethe entwickelter Ansatz zur Bestimmung der Eigenfunktionen und der Eigenwerte des Hamilton-Operators einer linearen Quantenspinkette.

Es sei allgemein Y_k(x) eine Eigenfunktion des Einteilchen-Hamilton-Operators ohne Wechselwirkung zu den Quantenzahlen k (Impuls, Spin, etc.). Der Bethe-Ansatz für einen N-Teilchen-Zustand ist dann von der Form

,

wobei sich die Summation über alle Permutationen s der Indizes 1, ... ,N erstreckt. Die Funtionen c sind modellabhängig, führen jedoch nur zu einer Phase bei der Verschiebung der Ortsargumente.

Der Ansatz wurde für viele eindimensionale Quantensysteme bzw. (1 + 1)-dimensionale Quantenfeldtheorien verallgemeinert. Gemeinsames Merkmal der auf dem Bethe-Ansatz basierenden Theorien sind neben der Energie- und Impulserhaltung auch die Erhaltung der Teilchenzahl und die Lokalität der Wechselwirkung. Allgemeine Streuprozesse faktorisieren in Zweiteilchen-Streuprozesse, und es findet lediglich ein Austausch von Energie, Impuls und eventueller weiterer Quantenzahlen statt.

Modelle, die sich mit Hilfe des Bethe-Ansatzes lösen lassen, sind das Sechs-Vertex-Modell, die nichtlineare Schrödinger-Gleichung, das massive Thirring-Modell in zwei Raumzeit-Dimensionen sowie Verallgemeinerungen auf Modelle mit nicht-abelschen inneren Symmetrien. (Quanten-Inverse-Streumethode)