Techniklexikon

Zustandssumme

Festkörperphysik, Summe über alle möglichen Zustände eines thermodynamischen Systems. Die möglichen Zustände ergeben sich dabei aus der Wahrscheinlichkeit, ein System im thermischen Gleichgewicht bei einer bestimmten Energie, die mit der thermischen Energie kT verglichen wird, vorzufinden. Diese Wahrscheinlichkeit ist durch die kanonische Verteilung bestimmt.

Die Zustandssumme ist gegeben durch , wobei E_n die Energie des n-ten Energieniveaus, k die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur und g_n das statistische Gewicht des n-ten Energiezustandes ist, das die Vielfachheit des Zustandes bei einer quantenmechanischen Entartung, d.h. die Zahl der Zustände mit der gleichen Energie E_n, angibt. Die Zustandssumme tritt zunächst als Normierungsnenner bei der Berechnung von Mittelwerten in der Gleichgewichtsstatistik auf. Da sie durch die Formel  unmittelbar mit der thermodynamischen Zustandsfunktion der freien Energie F verknüpft ist und sich aus dem thermodynamischen Potential F alle weiteren thermodynamischen Zustandsgrössen berechnen lassen, ist die Zustandssumme die natürliche Ausgangsfunktion für die Berechnung thermodynamsicher Eigenschaften aus ihrem mikroskopischen Aufbau.

Beim Grenzübergang zur klassischen Beschreibung erhält man aus der Zustandssumme das Zustandsintegral

wobei f die Zahl der Freiheitsgrade und q_i und pi die Koordinaten im f-dimensionalen Phasenraum des betrachteten Systems sind und die Integration über alle physikalisch möglichen Orts- und Impulswerte q_i bzw. p_i läuft. Der Normierungsfaktor 1 / h^f, der sichert, dass Z dimensionslos ist, wird durch die Deutung der Qantenzustände als Phasenzellen mit dem Volumen 1 / h^f geliefert. Der Faktor 1 / N! (N: Anzahl der (gleichartigen) Teilchen des Systems) kommt durch die quantenmechanische Nichtunterscheidbarkeit identischer Teilchen zustande. Nur die Berücksichtigung dieses Faktors liefert die richtige Abhängigkeit der Entropie und anderer thermodynamischer Grössen von der Teilchenzahl. Die obige Form des Zustandsintegrals mit Berücksichtigung des Faktors 1 / N! wird deshalb auch als quantenmechanisch korrigiertes Zustandsintegral bezeichnet. Die Zustandssumme wird damit als eine der wichtigsten Grössen in der Thermodynamik und Statistischen Mechanik dazu verwendet, andere thermodynamische Grössen, wie z.B. die Entropie oder die mittlere Energie, auszudrücken bzw. zu definieren.

Beispielsweise erhält man für ein ideales Gas aus N Molekülen, von denen jedes drei Freiheitsgrade hat, . Die Berechnung des Drucks nach obiger Formel liefert unmittelbar den statistischen Beweis der idealen Gasgleichung.