Techniklexikon

Entartung

FestkörperphysikSchwingungen und WellenMathematische Methoden und Computereinsatz, 1) Mathematik: die Situation, dass es in einem Eigenwertproblem zu einem Eigenwert mehrere linear unabhängige Eigenvektoren gibt. Ein Eigenwert heisst n-fach entartet, wenn die Dimension des Eigenraumes zu diesem Eigenwert gleich n ist. Die 3 ´ 3-Einheitsmatrix I besitzt beispielsweise 1 als einzigen Eigenwert. Dieser ist jedoch dreifach entartet, da für alle Vektoren x aus ³ Ix = x gilt. Die Eigenwert-Differentialgleichung  mit der periodischen Randbedingung y(x) = y(x + 2p) besitzt die Eigenwerte l_n = -n² und die Eigenfunktionen sin(nx) und cos(nx). Da die Eigenfunktionen linear unabhängig sind, sind die Eigenwerte je zweifach entartet. Beispielsweise sind die Energieeigenwerte E_n des Hamilton-Operators für das Elektron im Wasserstoffatom (ohne Berücksichtigung des Spins) n²-fach entartet, was bedeutet, dass es zur Energie E_n n² linear unabhängige Eigenzustände gibt. Das Valenzelektron im Natriumatom sieht im Unterschied zum Elektron im Wasserstoffatom kein 1/r-Potential, was dazu führt, dass ein Teil der Entartung aufgehoben ist: Die Energieeigenwerte E_nL sind nur noch (2L + 1)-fach entartet.

2) Wellenlehre: Besitzt die Schwingungsgleichung eines Systems mit Randbedingungen (Membran, Konzertsaal usw.) zur selben Eigenfrequenz mehrere linear unabhängige Lösungen, so nennt man diese (und auch die zugehörige Frequenz, sowie die daraus resultierende Schwingung) entartet. In einem Raum hallen die entarteten Frequenzen stärker wider als die nichtentarteten, so dass z.B. bei der Konstruktion von Konzertsälen darauf geachtet werden muss, entartete Frequenzen im hörbaren Bereich möglichst weitgehend zu vermeiden. Auch bei Lautsprechern und Mikrophonen spielen entartete Schwingungen eine Rolle (Membranschwingungen).

3) Statistische Physik: Ein Fermi-Gas wird als entartet bezeichnet, wenn die Temperatur T klein ist gegen die Fermi-Temperatur T_F. Bei hohen Temperaturen T  T_F geht die Fermi-Dirac-Verteilung in eine Maxwell-Boltzmann-Verteilung (Boltzmannscher Grenzfall) über, die die Besetzung der Energiezustände eines klassischen Gases angibt. Bei T  T_F weichen mit abnehmender Temperatur die Eigenschaften des Gases mehr und mehr von denen des idealen Gases ab, und es tritt eine Gasentartung ein. Die Fermi-Dirac-Verteilung hat in diesem Fall einen ähnlichen Verlauf wie für T = 0, bei dem alle Zustände bis zur der Fermi-Energie E_F mit Fermionen besetzt und alle Zustande oberhalb E_F leer sind (Fermischer Grenzfall). Demnach besitzen die Teilchen auch am absoluten Nullpunkt eine mittlere Energie. In diesem Zusammenhang wird T_F auch als Entartungstemperatur bezeichnet. (Gasentartung) [GB1, JS1, TV]