Techniklexikon

Krümmung

1) intrinsische Krümmung, die Krümmung r eines linearen Zusammenhangs (Konnexion)  auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X, die je zwei Vektorfeldern u,v auf X den Operator

zuordnet. Das ist ein Differentialoperator 2.Ordnung für Tensorfelder auf X. r wird meist als Tensorfeld dargestellt (Krümmungstensor). Besonders wichtig ist die Riemannsche Krümmung eines pseudo-Riemannschen Raumes mit Metrik g. Hier ist  der zu g gehörende Riemannsche Zusammenhang. (X,g) ist genau dann lokal flach, wenn die Riemannsche Krümmung verschwindet. Die Krümmung ist von grosser Bedeutung in der Allgemeinen Relativitätstheorie. 2) extrinsische Krümmung einer (n - 1)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit S in einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X, wobei auf X eine Metrik g und ein g-metrischer Zusammenhang  gegeben sind: Der Pullback von g auf S ist wieder eine Metrik  auf S, vorausgesetzt, S ist im pseudo-Riemannschen Fall nirgends tangential zum Lichtkegel. Bilden die 1-Formen (Differentialformen)  ein lokales orthonormales n-Bein für  auf S und  ein solches für g auf X, so kann man relativ zu den , , den Zusammenhang  lokal durch 1-Formen  darstellen. Die extrinsische Krümmung von S ist gegeben durch n 1-Formen ,  auf S. Diese sind die Pullbacks der 1-Formen  auf S. Meist versteht man unter der extrinsischen Krümmung das Tensorfeld  auf S. Ist  der Riemannsche Zusammenhang von g, so ist K symmetrisch, d.h. . Die extrinsische Krümmung ist wichtig für die Hamiltonsche Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie und ihre kanonische Quantisierung. (Quantengravitation)