Techniklexikon

Riemannscher Krümmungstensor

Relativitätstheorie und Gravitation, Riemann-Tensor, Riemann-Christoffel-Tensor, ein aus der Metrik und ihren ersten und zweiten Ableitungen konstruierter Tensor 4. Stufe, der genau dann verschwindet, wenn die Raumzeit flach ist. Heuristisch kann man dies wie folgt einsehen: Leitet man einen beliebigen kontravarianten Vektor  zweimal kovariant (kovariante Ableitung) ab, wobei die Reihenfolge vertauscht und anschliessend die Differenz gebildet wird, so erhält man:

mit dem Riemannschen Krümmungstensor

Da die linke Seite ein Tensor ist, muss dies auch die rechte Seite sein. Aus der Beliebigkeit von  folgt dann sofort, dass auch  ein Tensor ist. In der flachen Raumzeit kommutieren die zweifach kovarianten Ableitungen, da sie in Inertialkoordinaten in die gewöhnlichen Ableitungen übergehen. Folglich verschwindet die rechte Seite und wegen der Beliebigkeit von  auch der Riemann-Tensor. Man kann zeigen, dass auch die Umkehrung gilt.

Die rein kovariante Form des Riemannschen Krümmungstensors Krümmungstensor"> ist symmetrisch bezüglich der Vertauschung der beiden Indexpaare, antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung von Indizes innerhalb eines Indexpaares und zyklisch bei festgehaltenem ersten Index. Ausserdem genügt der Riemann-Tensor den Bianchi-Identitäten:

Durch Kontraktion kann man aus dem Riemann-Tensor weitere Tensoren bilden, den Ricci-Tensor sowie den Krümmungsskalar (Ricci-Tensor). Man kann zeigen, dass in zwei Dimensionen das Verschwinden des Krümmungsskalars bereits das Verschwinden des Ricci-Tensors und des Krümmungstensors und damit die Flachheit der Raumzeit impliziert, während in drei Dimensionen hierfür das Verschwinden des Ricci-Tensors notwendig ist. Erst bei vier- und höherdimensionalen Raumzeiten wird also der volle Riemannsche Krümmungstensor zur Beschreibung der Krümmung benötigt. In die Einstein-Gleichungen gehen aber nur der Ricci-Tensor und der Krümmungsskalar ein.