Techniklexikon

Renormierungsgruppentheorie

Thermodynamik und statistische Physik, Theorie zur Beschreibung des durch Fluktuationen des Ordnungsparameters charakterisierten Verhaltens in der Umgebung des kritischen Punktes bei Phasenübergängen zweiter Art. In diesem Bereich divergiert die Korrelationslänge der Fluktuationen. Es zeigt sich, dass in diesem Fall die Eigenschaften eines Systems, z.B. eines Magneten, für verschiedene Längenskalen sehr ähnlich werden. Wichtige Informationen über kritische Phänomene, insbesondere auch die quantitative Berechnung der kritischen Exponenten, ergeben sich aus der Untersuchung des Skalenverhaltens. Dass dies möglich ist, wurde zuerst von L.P. Kadanoff vermutet, detaillierte Techniken haben - neben vielen anderen - v.a. M.E. Fisher und K.G. Wilson, der 1982 den Nobelpreis erhielt, entwickelt.

Allen Varianten der Renormierungsgruppentheorie ist gemeinsam, dass zunächst die auf einer bestimmten Skala irrelevanten Freiheitsgrade eliminiert werden, z.B. im Ortsraum durch die Bildung von Blockspins oder im Impulsraum durch Ausintegration kurzwelliger Beiträge bis zu einem bestimmten Abschneideimpuls (cut-off). Dabei bleibt die Hamilton-Funktion näherungsweise forminvariant. Anschliessend werden die Massstäbe durch eine Skalentransformation so verändert, dass der Phasenraum seine ursprüngliche Grösse erhält. Damit wird das System durch eine Hamilton-Funktion gleicher Struktur, jedoch mit anderen (renormierten) Kopplungskonstanten beschrieben.

Die Menge dieser Operationen bildet eine Halbgruppe, die Renormierungsgruppe. Bei wiederholter Ausführung konvergiert die Folge der Kopplungskonstanten bei der kritischen Temperatur in Fixpunkten, die den renormierten Wert der Kopplungskonstanten bestimmen. Die innerhalb einer Universalitätsklasse irrelevanten Kopplungen verschwinden. Eine Analyse des Konvergenzverhaltens zeigt die Eigenschaft der Skaleninvarianz und erlaubt, die kritischen Exponenten zu berechnen.

Die Gleichungen der Renormierungsgruppentheorie können, ausgehend von exakt lösbaren Grenzfällen, näherungsweise ausgewertet werden, z.B. durch eine Entwicklung in dem Parameter , wobei d die räumliche Dimension ist.

Es gibt zahlreiche Varianten der Renormierungsgruppentheorie, die sich in technischen

Details unterscheiden, sowie Erweiterungen zur Beschreibung dynamischer kritischer Phänomene. Die Ergebnisse der Renormierungsgruppentheorie wurden in zahlreichen Experimenten zu Phasenübergängen zweiter Art, z.B. in magnetischen oder ferroelektrischen Substanzen und am Übergang zur Superfluidität in ⁴He, bestätigt. Die Idee der Renormierungsgruppentheorie wurde auch auf andere Probleme angewandt, für deren Verständnis sehr viele Längen- und Energieskalen wesentlich sind, z.B. in der Quantenfeldtheorie, insbesondere der Quantenchromodynamik (Renormierung).