Techniklexikon

Norm

Standard Mathematische Methoden und Computereinsatz, Länge oder Betrag eines Vektors. Gegeben sei ein Vektorraum  über einem Körper . Eine Abbildung  heisst Norm auf , falls für alle  und  die Normaxiome

und die Dreiecksungleichung

gültig sind. Als Beispiel sei für beliebige reelle  die -Norm eines Vektors  genannt:

Der Spezialfall  führt auf die Euklidische Norm, die mit der anschaulichen geometrischen Länge eines Vektors übereinstimmt. Handelt es sich bei  um einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum, so gilt im Falle  ferner

d.h. die Norm leitet sich aus dem Skalarprodukt ab. Die Wahl einer geeigneten Norm in einem Vektorraum kann unter praktischen Erwägungen erfolgen, denn für den Vektorraum  lässt sich zeigen, dass alle Normen (nicht nur die Normen) auf dem  äquivalent sind, d.h. für zwei beliebige Normen  und  auf dem  gibt es stets zwei positive Konstanten  und , so dass für alle  gilt:

Im erweiterten Sinne wird auch die Norm eines linearen Operators bzw. einer Matrix definiert; es gelten sinngemäss die gleichen Normaxiome. Eine Matrixnorm  heisst verträglich mit einer Vektorraumnorm , wenn für alle Vektoren des Vektorraums  gilt. Beispiele für Matrixnormen sind die Zeilensummennorm

oder die mit der euklidischen Norm verträgliche Schur-Norm