Techniklexikon

Iterationsverfahren

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Algorithmus, der aus der wiederholten Ausführung einer bestimmten Abbildungsvorschrift oder Transformation f besteht. Zur Illustration sei die Lösung der Fixpunktgleichung x = f(x) (*) diskutiert. Ein Iterationsverfahren zur Lösung von (*) besteht in der Wahl eines Startwertes x₀ und Anwendung der Rekursionsformel x_k = f(x_{k - 1}). Neben der Existenz und Eindeutigkeit der Lösung von (*) ist die Konvergenz des Iterationsverfahrens und der Folge x_k zu klären. Liegen alle Folgenglieder im abgeschlossenen Intervall [a,b] und ist |f\'(x)| < 1 für alle  [a,b], so konvergiert die Folge  gegen den Fixpunkt x_*.

Als Beispiel sei die numerische Lösung der in der Himmelsmechanik wichtigen Keplergleichung

bzw.

und ,  mit verschiedenen Iterationsverfahren der Form  gelöst, wobei die Berechnung von  einmal nach dem klassischen Newton-Verfahren, dann aus der Taylor-Reihe bis zur zweiten Ordnung und schliesslich aus dem Entwicklungsterm r₁₁ der Padé-Approximation der Ordnung (1,1) berechnet wird:

Die Lösungen für M = 0.6 und e = 0.9 mit dem Anfangswert x₀ = 0,08 und der Lösung x = 1,497589413390409. Die Padé-Approximation auf  liefert diesen Wert bereits nach 4 Iterationen. Der Taylorreihenansatz zweiter Ordnung konvergiert ebenfalls schneller als das Newton-Verfahren, kann allerdings nicht mit x₀ = 0 initialisiert werden. Der Konvergenzradius dieser drei Iterationsverfahren ist sehr unterschiedlich. Das Newtonverfahren divergiert für x₀ = 0,07, während die beiden anderen Verfahren sich dort wie bei x₀ = 0,08 regulär verhalten.

Untersuchungen des Konvergenzverhaltens von Iterationsverfahren in der komplexen Zahlenebene führten B. Mandelbrot und G. Julia zu den Konzepten der Mandelbrot-Mengen, Apfelmännchen und den Julia-Mengen.