Techniklexikon

Padé-Approximation

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Approximation einer Funktion  in der ganzen komplexen Ebene mit Hilfe einer Funktion  (Padé-Approximant), die aus einem Zähler- und Nennerpolynom besteht und sich aus den Koeffizienten der Taylor-Entwicklung von  ableitet. Die Potenzreihenentwicklung eines Padé-Approximanten stimmt überein mit den Koeffizienten einer vorgegebenen Potenzreihe , d.h.

ist genau dann Approximant der Reihe , wenn gilt

das Monom niedrigster Ordnung des Differenzpolynoms

also von der Ordnung  oder höherer Ordnung ist. Diese Bedingung liefert  Gleichungen für die  Unbekannten approximation.gif" alt="Padé-Approximation"> und , die sich (nach einer Normierung approximation.gif" alt="Padé-Approximation">) im Prinzip berechnen lassen; in der Praxis und aus Stabilitätsgründen werden Padé-Approximanten jedoch meist mit Hilfe rekursiver Techniken berechnet.

Das Konzept der Padé-Approximation lässt sich auf vektorwertige Funktionen mit vektorwertigem Argument erweitern. Sie spielt eine wichtige Rolle in vielen numerischen Algorithmen (Lösung nichtlinearer Gleichungen, Integration, Differentialgleichungen, Konvergenzbeschleunigung, Approximation spezieller Funktionen), bei der Untersuchung nichtlinearer Probleme oder divergenter Reihen, in der Physik, Chemie, Mechanik, Strömungsmechanik oder der Theorie elektrischer Schaltkreise.