Techniklexikon

Schwingungen, kleine

Schwingungen und Wellen, Schwingungen mit verhältnismässig geringer Amplitude. Häufig kann unter dieser Einschränkung die rücktreibende Kraft als zur Auslenkung proportional angesehen werden und das System führt lineare Schwingungen aus. Bei grösseren Auslenkungen müssen für reale Systeme bei der rücktreibenden Kraft meist auch höhere Potenzen der Auslenkung berücksichtigt werden. Es handelt sich dann um nichtlineare Schwingungen.

Bei der Betrachtung eines holonomen und konservativen Systems mit  Freiheitsgraden, das freie Schwingungen (d.h. ohne Einfluss äusserer Kräfte) um eine stabile Gleichgewichtslage ausführt, erhält man für die potentielle Energie  bzw. die kinetische Energie  unter Vernachlässigung der Glieder von höherer als 2. Ordnung als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten  ()

mit symmetrischen Koeffizienten  und . In der Gleichgewichtslage gelte .

Die Lagrange-Gleichungen führen auf ein gekoppeltes System von  linearen homogenen Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die Schwingungsgleichungen

mit  für die zu bestimmenden Funktionen . Der Lösungsansatz  mit komplexen Amplituden  führt auf ein algebraisches Gleichungssystem für die Konstanten , das nur für bestimmte Werte der Kreisfrequenz , den Eigenfrequenzen des Systems, lösbar ist. Diese erhält man aus der charakteristischen Gleichung . Es ergeben sich  unter Umständen mehrfache Lösungen  und entsprechend  verschiedene partikuläre Lösungen

Die  ergeben sich aus dem Gleichungssystem durch Einsetzen der verschiedenen  und die  sind beliebige komplexe Konstanten. Die  nennt man Eigenschwingungen des Systems. Sie können, da es sich um harmonische Schwingungen handelt, als Elementaroszillationen oder Elementaranregungen angesehen werden, die durch je einen eindimensionalen harmonischen Oszillator repräsentiert werden könnten.

Die allgemeine Lösung ergibt sich als Überlagerung , mit .

Führt man statt  die  als unabhängige Variable ein, so lautet für  das Differentialgleichungssystem , d.h. es ist entkoppelt und zerfällt in  voneinander unabhängige Schwingungsgleichungen. Kinetische und potentielle Energie haben dann die einfache Gestalt , , wobei  mit konstanten und positiven .  und  sind auf Hauptachsen transformierte quadratische Formen. Man kann daher auch umgekehrt durch Hauptachsentransformation der Lagrange-Funktion  von Anfang an die Lösung des Problems auf die Behandlung von  unabhängigen Oszillatoren reduzieren. Die Schwingungen dieser Oszillatoren heissen Haupt-, Normal- oder Fundamentalschwingungen, die  Haupt-, Normal- oder Rayleighsche Koordinaten, die  auch Normal- oder Fundamentalfrequenzen. Jede beliebige Schwingung des Systems kann durch Überlagerung dieser Fundamentalschwingungen dargestellt werden.

Die Benutzung von Normalkoordinaten ermöglicht eine einfache Behandlung erzwungener Schwingungen (d.h. Schwingungen unter dem Einfluss äusserer Kräfte). Die Bewegungsgleichungen für den ungedämpften Fall lauten , wenn die  die erregenden verallgemeinerten Kräfte sind. Beim Übergang auf Normalkoordinaten transformieren sich diese ebenfalls. Es folgt  mit . Dies ist aber identisch mit der erzwungenen Schwingung von  unabhängigen harmonischen Oszillatoren.

Die Behandlung freier und erzwungener gedämpfter Schwingungen ist schwieriger, da zusätzliche dissipative Kräfte wirken.

Von den Geschwindigkeiten  linear abhängende Reibungskräfte  können über die Rayleighsche Dissipationsfunktion  berücksichtigt werden, wobei die symmetrischen Koeffizienten  zwar von den verallgemeinerten Koordinaten abhängen, in der Umgebung der Gleichgewichtslage jedoch als konstant angesehen werden können. Die von der Reibung herrührenden Zusätze zu den verallgemeinerten Kräften ergeben sich damit zu . Das Differentialgleichungssystem für die Schwingungen erweitert sich um Summanden  und kann mit dem gleichen Ansatz gelöst werden.

Aussagen über die Stabilität von Gleichgewichtszuständen holonom-skleronomer Systeme kann man mit Hilfe der Methode kleiner Schwingungen machen. Stabilität des Gleichgewichtszustandes liegt dann vor, wenn nach einer kleinen Störung, d.h. einer Auslenkung des Systems aus der Gleichgewichtslage  um  (), die  mit wachsender Zeit abklingen oder wenigstens beschränkt bleiben. Es ist durchaus möglich, dass dissipative Kräfte zu einer Stabilisierung führen, falls das ungedämpfte System instabil ist.