Techniklexikon

Bracket-Notation

Dirac-Schreibweise, von P. A. M. Dirac eingeführte Schreibart für die Vektoren n des abstrakten quantenmechanischen Hilbert-Raumes H (Ket-Vektoren ) und des zugeordneten Dualraumes H * (Bra-Vektoren ). Die Bezeichnung der Bra- und Ket-Vektoren rührt vom englischen "Bracket" her.

Da die Dimension des Hilbert-Raumes genau der Zahl der Eigenwerte des betrachteten Systems {l_i} entspricht, lässt sich eine Basis des Raumes aus linear unabhängigen Eigenvektoren aufbauen, die jeweils durch den entsprechenden Eigenwert gekennzeichnet werden. Man schreibt diese Basisvektoren als . Die Eigenzustände des Wasserstoffatoms beispielsweise, die durch die Hauptquantenzahl n, die Drehimpulskomponenten l und m_l und die Spinkomponente s festgelegt sind, werden als  notiert.

Das Skalarprodukt zweier komplexer Hilbert-Raumvektoren (Ket-Vektoren)  und  wird als  geschrieben; der Bra-Vektor  wird in diesem Sinne als Element des Dualraumes H* verstanden.

Einen Zustand  in einer bestimmten Darstellung, beispielsweise in der Orts-, Impuls- oder Energiedarstellung, erhält man, indem man das Skalarprodukt mit den entsprechenden Eigenzuständen bildet und diese Koordinaten als Variable betrachtet: , und . Die Matrixdarstellung eines Operators , beispielsweise in der Energiedarstellung, ergibt sich zu .

Das Symbol  kann als Projektionsoperator  auf den Zustand  interpretiert werden.