Techniklexikon

Basis

1) Mathematik: ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes V. Vektoren v_i bilden ein Erzeugendensystem, wenn sich jeder Vektor  als Linearkombination  darstellen lässt. Die Vektoren v_i heissen linear unabhängig, wenn die a_i hierbei eindeutig bestimmt sind.

Die a_i nennt man Koordinaten des Vektors v bezüglich der Basis v_i. Derselbe Vektor besitzt zu verschiedenen Basen verschiedene Koordinatendarstellungen, die Transformation von der einen zur anderen Darstellung (Basiswechsel) wird durch eine lineare Abbildung vermittelt, die sich in Matrixform schreiben lässt.

Jeder Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem hat eine Basis. Die Anzahl der Basisvektoren ist dann eindeutig bestimmt und heisst Dimension des Vektorraumes. Die Vektoren e_x = (1,0,0), e_y = (0,1,0) und e_z = (0,0,1) bilden eine Basis des (dreidimensionalen) Anschauungsraumes ³, ebenso wie beispielsweise die Vektoren (7,5,4), (3,2,1) und (3,4,5); die Polynome 1, x, x², ... bilden eine Basis des (unendlichdimensionalen) Funktionenraumes.

In endlichdimensionalen Vektorräumen mit Skalarprodukt lässt sich stets eine orthogonale Basis finden, d.h. eine Basis, in denen die Basisvektoren paarweise orthogonal sind. Sind ausserdem die Basisvektoren auf Eins normiert, spricht man von einer Orthonormalbasis. Die Vektoren e_x, e_y und e_z bilden eine Orthonormalbasis des Anschauungsraumes, die Legendre-Polynome bilden eine orthogonale Basis des Funktionenraumes bezüglich des Skalarproduktes . Transformationen zwischen verschiedenen Orthonormalbasen werden durch orthogonale Matrizen vermittelt.

2) Kristallographie: kleinste Struktureinheit eines Kristalls. Sie kann aus einem Atom, Ion, Molekül oder einer Gruppierung dieser Teilchen bestehen (Bauverband). Durch die Besetzung eine Gitters mit der Basis ergibt sich die Kristallstruktur. In kristallographischen Begriffen wie Basisfläche oder Basisvektor kommen diesem Begriff jedoch hiervon abweichende Bedeutungen zu. [AK1, GB1]