Techniklexikon

Anzahloperator

in der Quantenfeldtheorie ein mittels der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren  bzw.  darstellbarer Operator der Form , der die Teilchenzahl des Zustandes, auf den er angewandt wird, angibt. Es gelten die Vertauschungsrelationen  Ist  und sei  Eigenvektor von  mit dem Eigenwert n, also , so folgt für n ¹ 0: , d.h.  sind ebenfalls Eigenvektoren von , und zwar mit dem um 1 erhöhten bzw. erniedrigten Eigenwert (n ± 1).  ist ein hermitescher Operator, , sein Spektrum ist daher reell und nach unten beschränkt. Aufgrund der Abbruchsbedingung  ist der niedrigste Eigenwert n = 0. Die Menge aller Vektoren  spannt den Hilbert-Raum H_n der n Teilchenzustände auf. Die  bzw.  führen n in n + 1 bzw. n - 1 über. Die  sowie physikalische Grössen wie Energie und Impuls sind daher für freie Teilchen auf dem Hilbert-Raum H definiert. Energie und Impuls können direkt aus den Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren konstruiert werden. Da die  kommutieren oder antikommutieren, kann man, abgesehen von den Vorzeichen, schreiben

d.h. es befinden sich n₁ Teilchen im Zustand 1, n₂ Teilchen im Zustand 2 etc., weshalb man von der Teilchenzahldarstellung spricht.