Techniklexikon

Zerfallsgesetz

Kernphysik, das Gesetz des zeitlichen Verlaufs des radioaktiven Zerfalls. Die experimentellen Befunde lassen sich mathematisch so beschreiben: Die Zahl der ursprünglich vorhandenen Kerne nimmt mit fortschreitender Zeit ab, so dass die Rate der Abnahme der Zahl der vorhandenen Kerne N proportional sein muss, also -DN = NlDt. Darin bezeichnet l eine Proportionalitätskonstante, die Zerfallskonstante. Das Minuszeichen bringt zum Ausdruck, dass die Zahl der vorhandenen Teilchen N um -DN abnimmt. In differentieller Form ergibt sich daraus -dN = Nl dt. Durch Integration ergibt sich das Zerfallsgesetz N(t) = N(0)exp(-lt), wobei die Integrationskonstante N(0) die Menge der Kerne darstellt, die zum Zeitpunkt null der Zählung (t = 0) vorhanden war.

Die Form dieses allgemeinen Zerfallsgesetzes, dem alle radioaktiven Zerfälle folgen, beinhaltet den statistischen Charakter des Zerfallsprozesses. Der Zerfall ist unabhängig von der Vorgeschichte. Es kann demnach nicht vorausgesagt werden, welcher der Kerne als nächster zerfallen wird, es lässt sich nur angeben, wieviele Kerne in einer bestimmten Zeitspanne zerfallen. So gibt die Halbwertszeit T_{1 / 2} diejenige Zeit an, in der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne oder Elementarteilchen zerfällt. Diese Zeit ist unabhängig vom Absolutwert N(0), denn es ist mit N / N(0) = 1 / 2 ersichtlich, dass T_{1 / 2} = l^-1 ln2 = 0,693... l^-1 ist.

Im quantenmechanischen Bild ist l die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit. Sie wird aus dem Quadrat einer Übergangsamplitude C gebildet, die ihrerseits aus dem Quadrat des Übergangsmatrixelements von einem Anfangs- (Y_i) in einen Endzustand (Y_f) gemäss  berechnet werden kann. O ist der Operator der beim Übergang zur Wirkung kommenden Wechselwirkungsenergie. Die Übergangsamplituden hängen damit von den fundamentalen Naturkonstanten, den Wellenfunktionen und der Wechselwirkungsenergie ab. In den Wellenfunktionen ist der Zugang zur Struktur der am Zerfall beteiligten Kern- und Elementarteilchenzustände enthalten, in der Wechselwirkung die Art der fundamentalen Wechselwirkung sowie der Mechanismus des Übergangs.

Das Zerfallsgesetz bietet eine einfache Möglichkeit, die Zerfallskonstante l und/oder die Halbwertszeit T_{1 / 2} zu bestimmen. Dazu wird die jeweilige Zählrate als Funktion der Messzeit in halblogarithmischem Massstab aufgetragen. Die Steigung der sich daraus ergebenden Geraden ist direkt die Zerfallskonstante l. Die Halbwertszeit ist unabhängig von der aktuell vorhandenen Substanzmenge, sie ist charakteristisch für ein bestimmtes Element bzw. einen konkreten Zerfall. Bei radioaktiven Isotopen mit grossen Halbwertszeiten, z.B. T_{1 / 2}(²³⁸U) = 4,468 × 10⁹ a lässt sich diese Methode jedoch nicht anwenden. Statt dessen bestimmt man die Substanzmenge N massenspektroskopisch und dazu die Zerfallsrate dN / dt und erhält daraus wegen lN = dN / dt die Zerfallskonstante l.

Zerfallsgesetz: Die Anzahl N der vorhandenen Kerne nimmt exponentiell ab; N(0): Anzahl zum Zeitpunkt t = 0.