Techniklexikon

Stabschwingungen

Schwingungen und Wellen, zusammenfassender Begriff für Schwingungen, die von Stäben aus elastischem Material ausgeführt werden. Während eine Saite (Saitenschwingungen) auf Grund ihres geringen Durchmessers erst dann Schwingungen ausführen kann, wenn sie durch eine äussere Kraft gespannt wird, bildet ein Stab auch ohne äussere Kräfte ein schwingungsfähiges System. Am wichtigsten sind dabei Longitudinal-, Transversal- sowie Torsionsschwingungen. Die Frequenz der Stabschwingungen hängt vom Material und von den Dimensionen sowie der Befestigungsart des Stabes ab. Für einen Stab der Länge  und der in Schwingungsrichtung gemessenen Dicke  gilt für die Frequenz  der transversalen Grundschwingung

(E: Elastizitätsmodul, r: Dichte des Materials). Die Oberschwingungen sind unharmonisch, und auch das Schwingungsprofil ist nicht sinusförmig. Für einen einseitig eingespannten Stab (schwingende Zungen in der Spieldose, Mund- und Ziehharmonika, siehe Abb.1) mit rechteckigen Querschnitt gilt z.B. c₀ = 0,1615, und die Frequenzen der Oberschwingungen verhalten sich zur Grundschwingung wie 1 : 6,27 : 17,57 : 34,37 : 56,84. Sind beide Enden des Stabes freischwingend (Xylophon), so ist die Konstante c₀ um den Faktor 6,42 grösser, und für die Frequenzverhältnisse gilt 1 : 2,76 : 5,41 : 8,94 : 13,37. Auch Stimmgabeln führen Stabschwingungen aus (siehe Abb. 2), jedoch sind die Oberschwingungen stark gedämpft. Zum Vergleich: Bei einer kreisförmigen Membran verhalten sich die tiefsten Eigenfrequenzen wie 1 : 1,59 : 2,14 : 2,30 : 2,65 : 2,92 (Knotenlinien siehe Abb. 3).

Einfacher ist die Behandlung der harmonischen Longitudinal- und Torsionsschwingungen. Stehende Wellen sind bei beiderseits eingespannten oder beiderseits frei schwingenden Stäben für die Eigenfrequenzen  möglich. Ist nur ein Ende eingespannt, gilt hingegen . Dabei ist  die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Longitudinalwelle () bzw. Torsionswelle (, : Schubmodul). Aus dem Verhältnis der longitudinalen und der Torsions-Grundschwingung  lässt sich die Poisson-Zahl  des Materials bestimmen.

Stabschwingungen 1: Transversalschwingungen (Biegeschwingungen) eines einseitig eingespannten Stabes mit nicht sinusförmigem Schwingungsprofil. Die 1. Harmonische entspricht der Grundschwingung.

Stabschwingungen 2: Schwingungsform der Stimmgabel. Die entstehenden Schwingungsknoten befinden sich nahe am Scheitel.

Stabschwingungen 3: Knotenlinien der Grundschwingung (n₀) und der ersten fünf Oberschwingungen (n₁-n₅) einer kreisförmigen Membran.