Techniklexikon

Stabilität der Materie

Physik im Alltag, die Tatsache, dass sowohl Einzelatome (mikroskopische Stabilität) als auch Atomaggregate im Limes grosser Teilchenzahl  (makroskopische Stabilität) gegen die Coulomb-Anziehung (Coulomb-Gesetz) stabil sind; beides braucht zur Erklärung ganz entscheidend die Quantenphysik.

Die mikroskopische Stabilität stellt insofern ein Problem dar, da in der klassischen Physik die Elektronen nichts am »Sturz in den Coulomb-Trichter« des Kernes hindert. Die Lösung des Problems beruht auf der quantenmechanischen Lokalisierungsenergie, d.h. auf der Tatsache, dass wegen  die kinetische Energie nach unten beschränkt ist,

und Dp² seinerseits bei zunehmender Lokalisierung des Teilchens so stark anwächst, dass die Potentialenergie  kompensiert werden kann; gilt aber für jeden Zustand

so gilt es auch für den Grundzustand.

Die übliche Abschätzung  auf der Basis der Heisenbergschen Unschärferelation genügt jedoch nicht für die gewünschte Ungleichung (2). Denn  kann endlich sein, auch wenn es  nicht ist; in diesem Fall kann E_Lok nicht U kompensieren und  divergiert trotz der Unschärferelation.

Man braucht eine stärkere Abschätzung, die geliefert wird durch

(von R. Peierls), also . Dann hat  ein Minimum, weil die zu mittelnde Funktion eines hat (siehe Abb.1).

Die makroskopische Stabilität stellt nun auch ein Problem dar, denn wendet man obiges Lokalisierungsargument bei N Atomen an, so wäre bei unveränderter Ladungsverteilung um ein Einzelatom für jedes Elektron eine Umverteilung auf das N-fache Volumen möglich (siehe Abb.2); da so eine verkleinerte Lokalisierungsenergie E_Lok einer unveränderten elektrostatischen Anziehung  widerstehen muss, erwartet man, dass E_Min mit zunehmendem N immer negativer und das Atomvolumen V immer kleiner wird. Dies zeigt die Rechnung in der Tat, und weiterhin, dass die gesamte Bindungsenergie -N × E_Min stärker als linear in N steigt, das Gesamtvolumen N × V aber sogar abnimmt, d.h. eine nur durch die Lokalisierungsenergie stabilisierte Materie würde mit  unter Aussendung immer grösserer Energiemengen implodieren.

Die Lösung des Problems liegt im Pauli-Prinzip: N Elektronen können nicht in identischer Weise verteilt werden, sondern ihre Zustandsfunktion ist zu antisymmetrisieren. Dass dann in der Tat Gesamtenergie und -volumen proportional zu N, d.h. extensive Grössen sind, kann mit der Thomas-Fermi-Theorie streng gezeigt werden.

Versteht man das Pauli-Prinzip als etwas wesensmässig Quantenphysikalisches, so gilt: Die höchst alltägliche Tatsache der Stabilität der Materie ist ein makroskopischer Quanteneffekt.

Die Stabilisierung der Materie gegen die Coulomb-Anziehung durch das Pauli-Prinzip ist eher eine Ausnahme; für stärker divergierende oder rein anziehende Kraftgesetze sowie für Bosonen ergibt sich immer Instabilität (siehe Tab.). Die Gravitationsinstabilität insbesondere wird durch das Jeans-Kriterium beschrieben.

 

Stabilität der Materie: Die Stabilität der Materie gegen Gravitations- und Coulomb-Anziehung. Nur für Fermionen unter Coulomb-Anziehung ergeben sich Gesamtvolumen und -energie (N × V; N × E_Min) proportional zur Teilchenzahl.

bottom-alt:solid black .6pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'>	bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> N × V	bottom-alt: solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> N × EMin
Coulomb / Bosonen	~ N-1	~ -N5 / 3
Coulomb / Fermionen	~ N	~ -N
Gravitation / Bosonen	~ N-3	~ -N-3
bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-left-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> Gravitation / Fermionen	bottom:solid black 1.0pt;border-right:none;mso-border-left-alt:solid black .75pt; mso-border-bottom-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> ~ N-1	bottom-alt: solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .6pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> ~ -N7 / 3

 

Stabilität der Materie 1: Das effektive Gesamtpotential (mittlere Kurve) als Summe von Coulomb-Potential (untere Kurve, strich-punktiert) und Lokalisierungsenergie (obere Kurve, gestrichelt). Das Minimum von  liegt bei  und  (E₀, a₀: Bohr-Energie und -Radius).

Stabilität der Materie 2: »Delokalisierungs-Umverteilung«: Die beiden »Teilchen« (senkrechte und waagrechte Striche) sind unten bei gleicher »Ladungsdichte« (gesamte Strichzahl) jeweils auf die doppelte Fläche verteilt.