Techniklexikon

geometrische Quantisierung

Thermodynamik und statistische Physik, von Kostant und Souriau entwickeltes geometrisches Verfahren zur Quantisierung eines 2n-dimensionalen klassischen Phasenraumes M mit symplektischer Form w. In einem ersten Schritt, der sogenannten Präquantisierung, definiert man auf dem komplexen Linienbündel über dem Phasenraum ein hermitesches Skalarprodukt und eine kovariante Ableitung D, deren Krümmung gleich -h^-1w ist. Dies ist immer möglich, wenn -h^-1w eine ganzzahlige De-Rham-Kohomologieklasse definiert. Jeder Funktion f auf dem Phasenraum lässt sich nun ein bezüglich des Skalarproduktes hermitescher Operator P_f zuordnen nach der Vorschrift: , wobei X_f das Hamiltonsche Vektorfeld zu f ist. Es gilt die Quantisierungsbedingung

.

In einem zweiten Schritt schränkt man das Linienbündel durch Wahl einer Polarisation auf einen geeigneten physikalischen Hilbert-Raum ein.

Die Vorteile der geometrischen Quantisierung liegen insbesondere in ihrer Anwendbarkeit auf topologisch nicht-triviale Phasenräume.