Techniklexikon

d-Funktion

Autor:
Petra Nordinghaus-Martin

---

delta-FunktionMathematische Methoden und Computereinsatzd-Funktion, Diracsche d-Funktion, d-Distribution ein Ausdruck der Form d(x - x₀), der eine auf den Punkt x = x₀ konzentrierte Verteilung repräsentiert. Mathematisch gesehen handelt es sich bei der d-Funktion um eine Distribution.

Der Gebrauch der d-Funktion lässt sich bis auf Kirchhoff 1882 zurückverfolgen, wird jedoch meist mit Dirac in Verbindung gebracht, der sie in die Quantenmechanik einführte. Man stellt sich die d-Funktion zweckmässigerweise als unendlich hohe und unendlich schmale Spitze vor, deren Fläche 1 ist. Die für das praktische Rechnen wichtigste Eigenschaft der d-Funktion ist, dass sie unter einem Integral einer beliebigen "vernünftigen" Funktion deren Funktionswert an einer Stelle zuweist:.

Diese sowie einige weitere Rechenregeln und Formeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt.

Mit Hilfe der d-Funktion lässt sich das Teilchenbild in die Feldtheorie übernehmen: Eine Punktladung der Stärke q im Punkt r₀ besitzt die Ladungsverteilung r(r) = qd(r - r₀). Das Potential einer solchen Punktladung ergibt sich als Lösung der Poisson-Gleichung  zu

.

Eine weitere wichtige Anwendung ist die Beschreibung von instantanen Impulsüberträgen: Eine Kraft, die nur in einem kleinen Zeitraum um t = t₀ wirkt und insgesamt einen Impulsübertrag von p verursacht, kann durch F(t) = pd(t - t₀) beschrieben werden, wenn zwar der Impulsübertrag, aber nicht der genaue Kraftverlauf physikalisch relevant ist.

In der Statistik ermöglicht die d-Funktion die Vereinheitlichung diskreter und stetiger Zufallsgrössen: Eine Zufallsgrösse, die mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte 0 und 1 annimmt, kann beispielsweise durch die Wahrscheinlichkeitsdichte f(x) = 1/2 (d(x - 0) + d(x - 1)) beschrieben werden.

In der Quantenmechanik sind d-Funktionen in der Ortsdarstellung die Eigenfunktionen des Ortsoperators: Führt man an einem Elektron, das durch die Wellenfunktion y beschrieben wird, eine Ortsmessung durch, bei der man das Resultat r₀ erhält, dann ist die Wellenfunktion des Elektrons nach der Messung y = d(r - r₀). Die Eigenfunktionen des Impulsoperators, die ebenen Wellen, besitzen im Impulsraum ebenfalls die Form von d-Funktionen. Somit sind über den Gebrauch der d-Funktion Wellen- und Teilchenbild in die Quantenmechanik eingebettet.

Ausser diesen unmittelbar physikalischen Bedeutungen spielt die d-Funktion noch bei der Lösung von Differentialgleichungen mit der Methode der Greenschen Funktionen und als Kriterium für die Vollständigkeit von Funktionensystemen eine Rolle.

Die d-Funktion ist zwar ein nützliches Objekt, aber sie ist keine Funktion im Sinne einer eindeutigen Abbildung x  d(x). Für einen strengen mathematischen Zugang zur d-Funktion kann man einen der beiden folgenden Wege beschreiten, von denen der erste mächtiger und der zweite intuitiver ist:

a) Man betrachtet anstelle der d-Funktion d(x - x₀) die sogenannte d-Distribution d_x0, d.h. das Funktional, das jeder Funktion f(x) ihren Funktionswert an der Stelle x₀ zuweist (d_x0[f]: f(x)  f(x₀)), und identifiziert die Integration über die d-Funktion mit der d-Distribution: . Bei dieser Herangehensweise hat die d-Funktion nur dann eine wohldefinierte Bedeutung, wenn sie unter einem Integral steht.

b) Man fasst die d-Funktion formal als "Grenzfunktion" einer Folge von Funktionen d_n auf, die mit zunehmendem n immer schmaler und spitzer werden, wobei ihre Fläche gleich bleibt. Tabelle 2 enthält einige Funktionenfolgen, die hierfür verwendet werden können. Bei der Integration über die d-Funktion ist dann derart vorzugehen, dass zuerst (Riemann-)integriert und danach der Grenzwert gebildet wird: . In diesem Fall dürfen Integration und Grenzwertbildung nicht vertauscht werden; die Operationen in anderer Reihenfolge durchzuführen, würde keinen Sinn ergeben, da die Folge der d_n nicht im üblichen Sinne konvergiert. [GB1]