Techniklexikon

Wavelets

Mathematische Methoden und Computereinsatz, Wavelet-Transformation, Verfahren zur Analyse von Zeitreihen, die aus der Wechselwirkung von Prozessen resultieren, die auf unterschiedlichen Zeitskalen ablaufen oder zusätzlich von diskreten Ereignissen (übergeordnete Steuerung, intrinsische Diskontinuitäten) überlagert werden. Ähnlich wie bei der Fourier-Transformation wird die zu analysierende Zeitreihe hierbei auf eine Reihe von Basisfunktionen (Wavelets) projiziert, die durch die Skalierung und Translation von einem zeit- und frequenzabhängigen Wavelet-Prototypen abgeleitet werden. Die bei diesem Vorgang bestimmten Koeffizienten der Wavelet-Transformation geben wegen der Zeitabhängigkeit der Wavelet-Prototypen nicht nur an, welche Frequenzanteile im Signal vertreten sind, sondern auch, wann diese zeitlich auftreten. Indem sich das Wavelet mit steigender Frequenz auf ein immer kleineres Zeitfenster zusammenzieht, können neben dem niederfrequenten Langzeitverhalten auch kurzzeitig auftretende hohe Frequenzen gut erfasst werden. Die lokale Natur der zugrundliegenden Basisfunktionen gestattet eine Approximation abschnittsweise glatter Signalverläufe mit lokalen Singularitäten durch wenige Wavelets. Hierauf basiert das Prinzip der Wavelet-Schrumpfung: Ausgehend von der vollständigen Beschreibung werden nur Koeffizienten grossen Betrages zur Rekonstruktion des Signalverlaufs verwendet. Auf diese Weise ist eine Beschreibung durch wenige Koeffizienten (Kompression) sowie eine Eliminierung hochfrequenten Rauschens möglich. Gegenüber konventionellen Verfahren bietet die waveletbasierte Vorgehensweise hierbei den Vorteil, dass kurzlebige Phänomene und damit insbesondere diskrete Ereignisse einer geringeren Verzerrung unterworfen sind. Eine weitere wesentliche Charakteristik der Wavelet-Transformation ist der Zusammenhang zwischen dem Abfall der Koeffizienten mit immer feinerer Skalierung und der lokalen Differenzierbarkeit des analysierten Signalverlaufs. Hierauf basiert ein Verfahren zur Detektion diskreter Ereignisse als Sprünge in einer Ableitung der betrachteten Zeitreihe.