Techniklexikon

Fourier-Transformation

Schwingungen und WellenMathematische Methoden und Computereinsatz, eine Integraltransformation, die einer Funktion f(t) ihre Fourier-Transformierte (Spektralfunktion, Frequenzspektrum) F(w) in Form des Fourier-Integrals

zuordnet. Der Übergang von F nach f wird als inverse Fourier-Transformation bezeichnet. Die Fourier-Integrale sind also das kontinuierliche Analogon der Fourier-Reihen. Voraussetzung für die Existenz der Fourier-Transformierten ist, dass die Funktion f von -¥ bis +¥ absolut integrierbar ist, d.h. f muss einschliesslich seiner Ableitungen im Unendlichen schneller als 1 / |t| verschwinden ( existiert) und darf auf jedem endlichen Intervall nur endlich viele Minima und Maxima besitzen (Dirichlet-Bedingung).

Aus der Definition der Fourier-Transformation lassen sich die in Tab. 1 zusammengefassten Symmetrieeigenschaften sowie die in Tab. 2 zusammengestellten Rechenregeln herleiten.

Die Fourier-Transformation lässt sich auch für mehrdimensionaleFunktionen definieren. Ist f(t) eine Funktion der n Variablen t = (t₁, ..., t_n), so hängt auch ihre Fourier-Transformierte von n Variablen w = (w₁, ..., w_n) ab. Es gilt dann ,

wobei das Intgral über den ganzen Raum zu nehmen ist. Für die Rücktransformation hat man

.

Die Fourier-Transformation hat zahlreiche Anwendungen in Physik und Mathematik, z.B. bei der Lösung von Differentialgleichungen, in der Elektrotechnik oder in der Quantenmechanik, wo sie den Übergang zwischen Impuls- und Ortsraum beschreibt. [JS1, UK]

Fourier-Transformation 1: Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformation.

bottom:solid black 1.1pt;border-right: none;mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-left-alt:solid black .75pt; mso-border-bottom-alt:solid black 1.1pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> Wenn f(t)	bottom:solid black 1.1pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black 1.1pt; mso-border-right-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> dann gilt
reell	F(-w) = F(w)
imaginär	F(-w) = -F(w)
gerade	F(w) gerade
ungerade	F(w) ungerade
reell und gerade	F(w) reell und gerade
reell und ungerade	F(w) imaginär und ungerade
imaginär und gerade	F(w) imaginär und gerade
bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-left-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> imaginär und ungerade	bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> F(w) reell und ungerade

 

Fourier-Transformation 2: Einige Rechenregeln zur Fourier-Transformation.

bottom-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> f(t)	bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-top-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> F(w)	bottom-alt: solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'>
f(t-a)	F(w) exp(-iwa)	Verschiebesatz
f(w0t)	1 / w0F(w / w0)	Ähnlichkeitssatz
df / dt	iw F(w)
d(t)	1 / 2p
exp(iw0t)	d(w - w0)
f(t) × g(t)	F(w) * G(w)	Faltungssatz
bottom:solid black 1.0pt;border-right:none; mso-border-left-alt:solid black .75pt;mso-border-bottom-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> f(t) * g(t)	bottom:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .75pt;padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> F(w) × G(w)	bottom:solid black 1.0pt;border-right:solid black 1.0pt; mso-border-bottom-alt:solid black .75pt;mso-border-right-alt:solid black .75pt; padding:0cm 3.55pt 0cm 3.55pt\'> Faltungssatz