Techniklexikon

Spline-Funktionen

Mathematische Methoden und Computereinsatz, aus Polynomen vom Grad  stückweise zusammengesetzte Funktionen  mit in den Stützstellen  stetigen Ableitungen bis zur Ordnung ; innerhalb der Intervalle  stimmt  mit den Polynomen vom Grad  überein. Die Interpolation mit Spline-Funktionen wird meist dann, z.B. in Graphiksoftware, angewendet, wenn durch eine Menge von Stützstellen  eine möglichst glatte Kurve gelegt werden soll; in diesen Fällen verwendet man meist kubische Polynome, die auf kubische Spline-Funktionen führen. Spline-Funktionen werden auch als Ansatzfunktionen in der Finite-Elemente-Methode verwendet. Mit

 und

ergibt sich bei Verwendung kubischer Splines die Interpolationsformel bzw. kubische Spline-Funktionen

wobei sich die (unbekannten) zweiten Ableitungen  und  in den Stützstellen a priori mit Hilfe der Stetigkeitsforderung von  in den Stützstellen  aus einem tridiagonalen Gleichungssystem bestimmen lassen. Die Randwerte  und  setzt man bei natürlichen kubischen splines zu  (vorgegebene Randglättung). Alternativ werden manchmal auch periodische Randbedingungen  und  oder erste Ableitungen  und  vorgegeben.