Techniklexikon

Dirichletsche Randbedingungen

Elektrodynamik und Elektrotechnik, nach J.P.G. Dirichlet benannte Klasse von Randbedingungen elektrostatischer Probleme (Elektrostatik), bei denen das elektrische Potential f(x) auf dem Rand A eines Raumgebietes vorgegeben ist. Je nachdem, ob das Gebiet inner- oder ausserhalb von A liegt, spricht man von einem inneren oder äusseren Dirichlet-Problem. Wenn in dem Gebiet die Ladung r(x) verschwindet, ist f(x) allein durch die Dirichletschen Randbedingungen überall eindeutig festgelegt.

Ein typisches Beispiel für Probleme mit Dirichletscher Randbedingung ist eine geerdete leitende Hohlkugel.

Elektrostatische Probleme, bei denen Dirichletsche Randbedingungen gemeinsam mit den Neumannschen Randbedingungen, bei denen die Normalkomponente des elektrischen Feldes auf dem Rand gegeben ist, erfüllt werden sollen, können im allgemeinen nicht gelöst werden, da das Problem überbestimmt ist (Cauchysche Randbedingungen). Die Lösung der Poisson-Gleichung unter Dirichletschen Randbedingungen geschieht mit der Methode der Green-Funktionen auf Grundlage der Greenschen Identitäten, mit denen auch die Eindeutigkeit der Lösungen bewiesen werden kann. (Differentialgleichungen)