Techniklexikon

Potenzreihe

Mathematische Methoden und Computereinsatz, unendliche Reihe der Form

wobei die Koeffizienten  aus einem Körper , z.B. , stammen,  eine unabhängige Variable, z.B. eine komplexe Zahl, oder aber auch ein Operator ist, und  Entwicklungspunkt heisst. Im Falle  und  konvergiert  entweder absolut und gleichmässig auf ganz , oder es gibt einen Konvergenzradius , so dass  innerhalb des Kreises  mit Radius  und Mittelpunkt  absolut und gleichmässig konvergiert, ausserhalb des Kreises aber divergiert, wobei  der Formel von Cauchy-Hadamard

genügt.  ist eine auf  holomorphe (analytische) Funktion; ihre Ableitung kann durch gliedweise Differentiation berechnet werden. Ist  eine auf  holomorphe Funktion, so kann  in jedem Punkt  in eine Potenzreihe entwickelt werden, wobei die Koeffizienten  eindeutig durch die -ten Ableitungen  bestimmt sind,

 heisst in diesem Fall auch Taylor-Reihe von  um . Beispiel: Die Funktion  besitzt um  die Taylor-Reihenentwicklung

mit Konvergenzradius . Dies ergibt sich aus der komplexen Produktdarstellung von , aus der ersichtlich ist, dass  in  Polstellen besitzt. Der grösste Kreis um , auf dem  holomorph ist, ist also der mit Radius .

Ein Potenzreihenansatz

wird manchmal auch zur Lösung von Differentialgleichungen, insbesondere solcher höherer Ordnung, verwendet, indem durch Koeffizientenvergleich die  bestimmt werden. Insbesondere bei linearen Differentialgleichungen spielt diese Technik eine Rolle, da der Grenzwert  gebildet werden kann; sie führt auf viele der als spezielle Funktionen bekannten Lösungen in der Physik.