Techniklexikon

Parsevalsche Gleichung

OptikMathematische Methoden und Computereinsatz, Abgeschlossenheitsrelation, Verschärfung der Bessel-Ungleichung. Sei  ein abzählbares orthonormales Funktionensystem im Hilbert-Raum H. Die Bessel-Ungleichung garantiert, dass für jedes  die (verallgemeinerte) Fourier-Reihe  wieder ein Element in H ist; die (verallgemeinerten) Fourier-Koeffizienten  sind durch das Skalarprodukt  in H gegeben, also . Ist die Parsevalsche Gleichung

erfüllt, so gilt . Ist  vollständig, so konvergiert  für jedes .  heisst abgeschlossen, wenn die Parsevalsche Gleichung für jedes  gilt, und schliesslich ist die Abgeschlossenheit von  äquivalent mit seiner Vollständigkeit. Die Parsevalsche Gleichung lässt sich verallgemeinern auf nicht-abzählbare orthonormale Funktionensysteme bzw. auf solche, die eine Vereinigung von abzählbaren und nicht-abzählbaren Funktionensystemen darstellen; anstelle der Reihe  tritt dann sinngemäss das Integral  bzw. eine Summe aus Reihe und Integral auf, und die Parsevalsche Gleichung nimmt die Gestalt

an.

In der Optik beschreibt die Parsevalsche Gleichung die Beziehung zwischen einem abgestrahlten elektromagnetischen Feld f(t) bzw. der emittierten Energie und der spektralen Energieverteilung F(w) als Fourier-Transformierter von f(t), die emittierte Energie ist proportional zu .

Erweitert man die Integrationsgrenzen, kann man mit

die Fourier-Transformation

ausführen und erhält nach Vertauschen der Integrationsgrenzen die Parsevalsche Gleichung: