Techniklexikon

Lie-Ableitung

Ableitung  eines Tensorfeldes  in Richtung der Integralkurven eines Vektorfeldes  auf einer Mannigfaltigkeit . Bezeichnet  den lokalen Fluss von  und  den zugehörigen Pullback, so ist

.

 ist ein Tensorfeld vom gleichen Typ wie .  vertauscht mit Kontraktionen und es gelten die Regeln:

Die Lie-Ableitung einer Differentialform  ist

Für eine 1-Form gilt in lokalen Koordinaten  und

Die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes  nach  bezeichnet man auch als Lie-Klammer von  mit :

Der Raum der Vektorfelder auf  bildet mit der Lie-Klammer eine Lie-Algebra. Die Lie-Ableitung verallgemeinert die von Funktionen auf  bekannte Richtungsableitung auf Tensorfelder auf beliebigen Mannigfaltigkeiten. Sie ist insbesondere in der Allgemeinen Relativitätstheorie von grosser Bedeutung, wo häufig Killing-Felder betrachtet werden, das sind Vektorfelder

, die eine Metrik  invariant lassen, d.h. für die  gilt.