Techniklexikon

Gleitlinientheorie

Festkörperphysik, eine Lösungsmethode für Probleme des ebenen Deformationszustandes bei ideal plastischem Werkstoffverhalten.

Zur Lösung statisch bestimmter Probleme der Plastizitätstheorie liegen die zwei Gleichgewichtsbeziehungen

                        (1)

und die Fliessbedingung nach Mises

            (2)

vor. Dabei sind s_ij die Elemente des Spannungstensors, k die Schubfliessspannung.

Werden die gesuchten Spannungen s_xx, s_yy und s_xy durch die neuen Funktionen p und J ausgedrückt, wobei p die mittlere Normalspannung ist und J den Neigungswinkel der Gleitlinien bedeutet,

,           (3)

so können folglich die Spannungen im gesamten plastischen Gebiet durch die Variablen p und J beschrieben werden (Misessche Theorie).

Durch Einsetzen der Beziehung (3) in die Gleichgewichtsbedingungen (1) und Drehung des x-y-Systems, so dass es mit den Tangenten an die a-, b-Gleitlinien zusammenfällt, wird die Integration möglich. Der Neigungswinkel J der Gleitlinien wird damit null.

Die entstehenden Beziehungen (4)p + 2kJ = f(s_b) = const längs a-Gleitlinienp - 2kJ = g(s_a) = const längs b-Gleitlinien

werden Henckysche Gleichungen genannt. p ist die mittlere Normalspannung, k die Fliessgrenze; s_a und s_b sind die Bogenlängen der Gleitlinien. Die Henckyschen Gleichungen bringen zum Ausdruck, dass sich die mittlere Normalspannung entlang der Gleitlinien proportional zum Winkel J ändert.

Liegen die Spannungsrandbedingungen vor, so kann auf Grundlage der Randwertprobleme nach Prager und Hodge das Gleitlinienfeld berechnet werden. Es existieren mehrere Spannungsrandbedingungen, von denen die bekanntesten die Huber-Misessche, die Trescasche, die Hillsche, die Edelmannsche und die Misessche Fliessbedingung sind.

Die Gleitlinientheorie berücksichtigt keine Abhängigkeit der Fliessgrenze von der Formänderungsgeschwindigkeit.