Techniklexikon

GL(

nQuantenmechanik,C), die Gruppe der allgemeinen (G) linearen (L) komplexwertigen (C) n × n-Transformationsmatrizen. Sie ist die grösste Gruppe, welche die in der Physik wichtigen Gruppen als Untergruppen beinhaltet. Sei g_ab der metrische Tensor im n-dimensionalen Vektorraum; g_ab ist lokal diagonalisierbar mit p positiven und q negativen Diagonalelementen. Untergruppen von GL(n, C) werden wie folgt gebildet: SL(n, C)-Elemente haben Determinante det M = ±1. Elemente der orthogonalen Gruppe, O(n, C), erfüllen g_ab M^a_m (M^*)^b_n = g_mn. Eine gemeinsame Untergruppe der beiden ist SO(n, C). Die Elemente der unitären Gruppe U(p, q) erfüllen , ihre Untergruppe ist SU(p,q). Schliesslich die symplektische Gruppe, Sp([n / 2], C), bestehend aus n / 2 × n / 2 antisymmetrischen Matrizen (nur für gerade n verwendbar) mit . Einige Beispiele: SU(n): Yang-Mills-Theorien; SL(2 C): konforme Feldtheorien; die Lorentz-Gruppe kann sowohl SO(3 1 R)- als auch SL(2 C)-Darstellungen haben, SO(10) ist eine GUT-Gruppe, etc.