Techniklexikon

Axiomensystem

Menge von Aussagen oder Relationen (Axiome) zwischen den Grundbegriffen einer Theorie, aus denen alle Aussagen der Theorie deduzierbar sein sollen. Eine derart rekonstruierte Theorie wird als axiomatisches System bezeichnet. An ein Axiomensystem werden traditionell drei Forderungen gestellt:

-Widerspruchsfreiheit: es soll nicht zugleich eine Aussage A und deren Negation Ø A ableitbar sein.

-Vollständigkeit: alle Sätze der Theorie sollen aus dem Axiomensystem deduzierbar sein.

-Unabhängigkeit: keines der Axiome soll aus den übrigen ableitbar sein.

Da diese Eigenschaften mit den Mitteln der betreffenden Theorie nicht beweisbar sind (Gödelscher Unvollständigkeitssatz), es also keine formal einwandfreie Selbstbegründung für ein axiomatisches System gibt, werden in der Regel neben der Unabhängigkeit weitere abgeschwächte Forderungen gestellt:

-Entscheidbarkeit: es muss ein Verfahren geben, mit dem für jede Aussage in endlich vielen Schritten entschieden werden kann, ob sie zum Axiomensystem gehört oder nicht.

-Beweisbarkeit: alle (bekannten) Aussagen der Theorie müssen mit Hilfe des Axiomensystems beweisbar sein.

Als Axiomatisierung bezeichnet man die Rekonstruktion einer Theorie als axiomatisches System. Dies ist i.a. durch verschiedene Axiomensysteme möglich. Ferner kann ein abstraktes Axiomensystem auf verschiedene Weisen realisiert werden, indem man für die abstrakten Grundbegriffe verschiedene, die Axiome erfüllende konkrete Begriffe setzt. Das Axiomensystem eines Hilbert-Raumes kann beispielsweise durch normierbare Zahlenfolgen oder durch quadratintegrable Funktionen realisiert werden.

Eine solche Definition des Axiomensystems bzw. der Axiomatisierung setzt voraus, dass eine Theorie als Satzsystem rekonstruiert werden kann (Statement View). Da physikalische Theorien diese Bedingung nicht erfüllen (physikalische Theorie), ist ihre Axiomatisierung in Analogie zu formalwissenschaftlichen Theorien nicht möglich. Bei den bisher versuchten Axiomatisierungen physikalischer Theorien, etwa der Mechanik (Newton), der Elektrodynamik (Maxwell), der Thermodynamik (Carathéodory) oder der Quantenmechanik (v. Neumann), handelt es sich daher durchweg um deduktive Systematisierungen, bei denen die Beweisverfahren der zugrunde liegenden mathematischen Theorien übernommen wurden. [MG1]